Dagens ord


Ansvar väger tyngre än frihet - Responsibility trumps liberty

29 dec. 2013

Tre dystopiska actionrullar

Ytterligare tre dystopiska actionrullar avklarade: Oblivion, Elysium och World War Z.

Det är lite som schlagerfestivalen, det där med att läsa recensioner (NYT, SvD, GP, UNT, HD, m.fl.). Hur luttrad man än är, så blir man likväl förvånad över hur tolkningar och tyckanden spretar - både inbördes och i jämförelse med ens egna.

Ingen av filmerna är värd att skriva en uppsats om, men mycket kort kan sägas att Oblivion kan hoppas över; Elysium är intressant men övertygar tyvärr inte. (Är det inte dags att Matt Damon gör något riktigt bra snart?)

World War Z är (vilket förvånade mig) mest sevärd, av flera skäl: Produktionen är i särklass den mest gedigna, alla kategorier. Berättandet är, om inte originellt, så åtminstone uppfriskande. Som skräck-action är den nästan onödigt bra (även om vissa typiska skräckfilmsbrister kvarstår). Men framför allt: de stråk av allvar och budskap som kan skönjas är smarta och subtila (ja, bortsett från elefanten i rummet). Ironiskt, då, att drakarna beslår Elysium med övertydlighet (för att inte tala om SvD:s bisarra läsning), men att ingen av dem ser något mer än zombies i World War Z.

14 dec. 2013

Observationens teoriberoende, revisited


Consider the laudable, but now somewhat tarnished initiative to establish evidence-based policymaking. What went wrong? All too often, objective evidence was taken to be data uncontaminated by the bias of a prior theory. But without "the very soul" of a theory as guidance, what constitutes evidence? Objectivity isn't to do with with stripping out all presuppositions. Indeed, the more that's considered possible or desirable, the greater the undetected, uncriticized presuppositions and the less the objectivity. At worst, a desired but unstated goal can be smuggled in at the outset. And the upshot? This well-meant approach is often justifiably derided as "policy-based evidence-making".

Helena Cronin: In the beginning is the theory
I Brockman (red.), This explains everything, s. 157

7 dec. 2013

Problemlösning med progression

Jag hittade en uppgift på Mattecentrums Facebooksida:


Kan du arrangera siffrorna 1-9 i en cirkel så att summan av alla sifferpar ej är delbara med 3, 5 och 7?


Jag gav mina pojkar, 7 och 10 år, i uppgift att lösa den. Det var mycket instruktivt att se och höra dem gripa sig an problemet. Jag tittade också på kommentarerna på Mattecentrums sida, och det visade sig även där att redan TOLKNINGEN av uppgiften ger upphov till många problem.

Min äldste grabb behövde inte mycket stöttning för att komma igång. Efter hand utvecklade han själv flera systematiska sätt att närma sig en lösning. Han kom fram till en kedja av 6 siffror som alla uppfyllde villkoret, men stötte sedan på patrull, då det finns flera sätt att ta fram en sådan, men endast en (eller ett fåtal) som kan leda hela vägen till en cirkel med nio siffror.

Lillkillen och jag använde Excel för att ta fram en tabell över alla möjliga summor, och sedan stryka de summor som inte uppfyller villkoret. Sedan hade vi en god översikt över vilken väg vi kunde ta mot målet. Under tiden gjorde tioåringen något likande med papper och penna: Han skev upp alla summor mellan 3 och 18 och strök sedan dem som var delbara med 3, 5 och 7.

När vi var klara, pratade vi om primtal, och om tal som innehåller faktorn 2 och andra faktorer skilda från 3, 5 och 7.

Så det finns utrymme för progression här.

Men det viktigaste är nog dels TOLKNINGEN, som sagt, och att förelägga sig en fungerande SYSTEMATIK i sitt sökande efter lösning.

17 nov. 2013

God natt

Jag vilar trygg uti mitt bo

I sällsam bädd av barnatro


Att runt omkring och just i dag

Är allt som sker just som det ska

10 nov. 2013

Insomnia


Jag vaknade och steg ut i drömmen

Lät mig fjärrstyras genom dagen

Kände livsviljan bölja fram och tillbaka

och undrade vems den var


En marionett-teater

Tablåer i tablåer

Tjattrande dockor

på scenen; framför; bakom




En babusjka letar vila

Lägger pussel

söker ro

Mitt inre fryser utan skal

Döden skrämmer mig

retar mig


Utmattade skärvor

gungar svagare

Trevar sig sakta mot varandra

under natten




Något, någon

sköljs upp i dagen

Famlar efter form





15 sep. 2013

Kuratorn är den nya pedagogen

Så här i MOOC:ernas tidevarv (Massively Open Online Courses), med flippade klassrum även i grundskolan, växer en ny näringskedja fram.

En del pedagoger blir innehållsskapare - och flyttar alltså upp ett snäpp i kedjan.

En del blir kuratorer - i bemärkelsen "curator", föreståndare för museiverksamhet - och flyttar därmed upp två snäpp.

När jag ser en fantastisk filmad föreläsning (som t.ex. den här) av en svårslagen innehållsskapare, och ödmjukad funderar över mitt eget existensberättigande, finner jag tröst i tanken att jag åtminstone är en av de första (?) kuratorerna i denna sköna nya värld.

Kombinatorik och Kaizen


En riksdagsledamot har 10 stycken vänner i riksdagen. Hon vill bjuda in fyra av dessa vänner till en gemensam middag, men vet också att hon inte kan bjuda in de båda vännerna Amanda och Benjamin samtidigt, eftersom dessa inte kommer överens med varandra.

På hur många sätt kan hon välja fyra av de tio vännerna, utan att hon väljer både Amanda och Benjamin?

Den här uppgiften är hämtad från Mattekampen 2013, ett initiativ av Mattecentrum.

Uppgiften är ett exempel på kombinatorik, som i sin tur är en gren av diskret matematik.

Den är svår - ovanligt svår för att ingå i ett test för riksdagspolitiker. Ja, svår även för de flesta som precis har gått ut gymnasiet. Eller högskolan, för den delen. Svår t.o.m. för de - få - som faktiskt läser, eller har läst, just diskret matematik (på gymnasiet).

Mitt syfte med den här texten är att särskilt lyfta fram en av orsakerna till varför uppgiften uppfattas som svår (det finns flera).


En kollega och jag roade oss med att diskutera uppgiften över en öl en fredag eftermiddag efter jobbet. Och redan här finns flera ledtrådar: Vissa människor tycker uppenbarligen att sådana här problem är roliga! Samtidigt - ja, samtidigt - kan de upplevas som krävande, skrämmande och frustrerande. För många människor, och detta inkluderar matematiker och matematiklärare - är de enbart frustrerande.

För någon som är van vid att lösa den här typen av problem är mycket givet på förhand: Man vet vilka metoder som ska användas, och man vet dessutom hur och varför dessa metoder fungerar. Trots detta är  vägen till en lösning inte självklar. Värre än så: huruvida en färdig lösning faktiskt är korrekt är också ofta långt ifrån självklart. Så mycket värre för någon som tvingas resonera sig fram till en lösning utan tillgång till färdiga metoder.

Här följer några exempel på lösningar, utförda med hjälp av standardmetoder.


A. En ska bort

Om man först plockar bort Amanda, på hur många sätt kan man då välja fyra personer av de nio som återstår? Låt oss kalla svaret på den frågan för C(9, 4). Ingen av dessa sällskap innehåller både Amanda och Benjamin, eftersom Amanda inte är med i urvalet. På samma sätt, om man först plockar bort Benjamin kan man bilda C(9, 4) sällskap utan honom. Totalt har man alltså 2 × C(9, 4) möjligheter. Eller, med en annan notation:



B. Båda ska bort

Om man först plockar bort både Amanda och Benjamin kan man av de återstående åtta personerna bilda C(8, 4) sällskap. Men då har man ju inte räknat med de möjligheter där någon (endast en) av de två ovännerna ingår. Hur många sådana finns? Jo, om man i stället för att plocka bort Amanda börjar med att bestämma sig för att hon ska ingå i sällskapet, då har man bara tre personer kvar att välja. Men inte av nio återstående personer, utan av åtta - eftersom Benjamin då inte får väljas. Alltså har man C(8, 3) möjligheter. På samma sätt med Benjamin: det finns C(8, 3) möjligheter att välja ett sällskap där han garanterat ingår och där Amanda garanterat inte ingår. Vi har nu alltså först räknat de sällskap där ingen av ovännerna ingår; sedan de sällskap där Amanda ingår (men inte Benjamin); och slutligen de sällskap där Benjamin ingår (men inte Amanda). Har vi räknat alla möjligheter då? Ja, det har vi. Alltså:




Bry dig inte om hur vi får fram värdet 182 just nu. Det kommer vi till längre fram. Det viktiga nu är själva resonemanget, och att det skiljer sig från det resonemang vi förde i A.


C. Ingen ska bort (förrän i efterhand)

Hur många möjligheter finns om man inte bryr sig om att plocka bort någon av ovännerna? Jo, C(10, 4)  Då har man alltså räknat alla möjliga sällskap, även dem där både Amanda och Benjamin ingår. Och de måste ju räknas bort. Så hur många är de? Låt oss räkna "baklänges": Alla de möjliga sällskap där båda ovännerna ingår skulle vi kunna bilda genom att först välja ut just dessa två och bestämma att de ska ingå. Då saknas två personer för att sällskapet ska bli fulltaligt. På hur många sätt kan vi då välja dessa två, av de åtta personer som då återstår? Jo, C(8, 2). Nu har vi först räknat alla möjliga sällskap, och sedan dragit bort dem som inte fungerar:




Vi får samma svar i både B och C, vilket är uppmuntrande. Vilken av dessa två tycker du verkar rimligast? Båda? Ingen? Känns någon av dem rimlig, men fortfarande inte helt övertygande? Eller är båda helt övertygande? Och undrar du i så fall hur det kan vara så? Blir du kanske lite misstänksam?

Hur är det med lösning A? Den ger svaret:



Aj då... Är det något fel? Eller är det kanske B och C som innehåller något fel? Hur kan vi veta det?

Vi tittar på A igen. Vi har räknat alla de sällskap där Amanda inte ingår, och alla de sällskap där Benjamin inte ingår. Det är väl bra? Finns det några fler? Nej, det gör det väl inte...

Eftersom vi nu har två alternativa lösningar att jämföra med, som båda ger samma svar, och som dessutom ger ett lägre svar, kan vi kanske börja misstänka att vi i A har räknat med för många möjligheter.


A'. En ska bort, men bara en

Alla sällskap där Amanda inte ingår, och alla sällskap där Benjamin inte ingår... Hur är det med de sällskap där ingen av dem ingår? De ingår ju både i mängden av sällskap som inte innehåller Amanda och i mängden av sällskap som inte innehåller Benjamin. (Det kan man se om man t.ex. ritar upp ett s.k. Venn-diagram.) Vi har alltså räknat med dem två gånger när vi lade ihop de sällskap som garanterat inte innehöll en av ovännerna. Vi måste alltså dra bort dem en gång. Hur många möjliga sällskap innehåller inte någon av ovännerna? Det räknade vi ut i B: C(8, 4). Vårt nya lösningsförslag blir alltså:



Och se, vi får nu samma svar som i B och C. Då kan vi nog känna oss ganska säkra på att det är rätt.

(Hur kommer man att tänka på detta? Hur kan man lära sig att komma på sådana här saker? Kan man lära sig det?)


(I facit till Mattekampen ges C som lösningsförslag.)


Vilken lösningsmetod hade du valt? Om du hade valt A, hade du då kommit fram till A' ?

Vad hade du gjort om du inte sedan tidigare varit bekant med notationen C(n, k)? Jag tror att det då hade varit mycket svårt, men inte omöjligt, för dig att lösa problemet.


---


Låt oss titta närmare på notationen C(n, k)  På hur många sätt kan man välja ut k föremål ur en mängd av n stycken föremål? Alla föremål är unika (d.v.s. det går att göra skillnad på dem). Men det spelar ingen roll i vilken ordning de väljs ut.

Ett exempel: Du har fem inramade foton på dina barn och ska ge bort två av dessa till svärmor i julklapp. På hur många sätt kan du välja ut två av fem foton? (Notera att det spelar ingen roll i vilken ordning du väljer ut dem; det enda viktiga är vilka foton svärmor får.)

Tänk dig att du lägger de fem fotona framför dig på en rad. Det första fotot du väljer kan då vara vilket som helst av de fem. Låt säga att du tar bort detta foto från raden och lägger det i ett paket. Kvar ligger nu fyra foton. Du ska välja ett till, och du har nu fyra möjligheter. Du tar bort ytterligare ett foto, vilket som helst, från raden och placerar det i paketet. Nu är svärmors julklapp klar.

På hur många olika sätt skulle den här scenen kunna utspela sig? Det första fotot kan vara vilket som helst av de fem som ligger framme. Nästa foto kan vara vilket som helst av de fyra återstående. För var och en av de fem första scenariorna, finns det fyra fortsättningar. Du har alltså 5 × 4 = 20 möjligheter att välja ut två foton till svärmor.

Men vänta! För svärmors del spelar det ju ingen roll i vilken ordning du har valt ut fotona. Det enda hon är intresserad av är vilka foton som ligger i paketet. I ett av de tjugo scenariorna ovan väljer du först foto X och därefter foto Y. I ett annat scenario väljer du först foto Y och sedan foto X. Av de tjugo scenariorna är alltså hälften likvärdiga, ur svärmors synvinkel. Det finns alltså bara 20/2 = 10 unika julklappar.

Ovanstående sammanfattar vi så här:


Vilket alltså säger att det finns 10 unika urval av två föremål ur en samling på fem föremål.

Hur många unika julklappar kan svärmor få om paketet innehåller tre, i stället för två, foton? Som tidigare resonerar vi först att det finns 5 × 4 × 3 olika sätt att välja ut de tre fotona.

Sedan måste vi ta hänsyn till att en del av dessa resulterar i samma urval av foton. På hur många sätt kan t.ex. foto X, Y, och Z hamna i samma paket? Jo, X skulle kunna hamna i paketet genom att bli utvalt först, men det skulle också kunna hamna i paketet som nummer två i ordningen, eller som nummer tre. Det finns alltså tre möjligheter för foto X att ingå i paketet. Om foto X väljs ut först, kan foto Y väljas antingen som andra eller som tredje foto i ordningen. För varje plats i ordningen som X får, finns alltså två platser kvar till foto Y. Därefter är den kvarvarande platsen för foto Z bestämd. Det finns alltså 3 × 2 paket som alla innehåller just fotona X, Y och Z. (3 × 2 × 1 om man ska vara noga.)

Alltså, hur många unika julklappar kan svärmor få om vi väljer ut tre foton av fem? Jo:




Ja, svaret blir faktisk detsamma som när vi endast valde ut två foton, vilket kanske kan tyckas lite märkligt. C(5, 3) = C(5, 2). Generellt gäller att C(n, k) = C(n, (n-k)), vilket kanske blir klarare om du läser vidare.


---


Nu har vi dels sett hur notationen C(n, k) kan användas, utan att vi bryr oss om det numeriska värdet; dels har vi sett hur man faktiskt tar fram ett numeriskt värde på det som representeras. Vi skall slutligen titta på en generell definition:



I vårt exempel får vi alltså:



Den här definitionen utnyttjar en annan definition, nämligen den av fakultet (!)



I vårt exempel:



Om vi kombinerar dessa definitioner kan vi härleda vårt ursprungliga uttryck:





Defintionerna av C(n, k) och av fakultet (!) kan verka krångliga, men de sammanfattar egentligen bara resonemanget om svärmors julklapp.


---


Det verkar osannolikt att någon utan kunskap om dessa metoder skulle lyckas utveckla dem på egen hand, i samband med att man griper sig an det ursprungliga problemet (middagssällskapen). Så utan förkunskaper är uppgiften helt enkelt mycket svår. Men vad det är som gör uppgiften frustrerande även med tillgång till de här metoderna?


Efter introspektion, och efter att ha pratat med en handfull matematiklärare, tror jag att det beror på två saker:

(a) Det finns ingen given lösningsmetod

(b) Man vet inte när, eller om, man är färdig

Det första skälet är intressant, på minst två sätt. Först och främst för att det exemplifierar ett problem, så som detta ofta definieras i matematikundervisning. Enligt den nya skolreformen (Gy11) ska utvecklingen av problemlösningsförmåga nu prioriteras i matematikundervisningen på grundskola och gymnasium. Jag deltar själv just nu i en fortbildning kallad Matematiklyftet, som just syftar till att lära mig (som matematiklärare) att lära mina elever att (utveckla sin förmåga att) lösa problem. Jag är inte säker på att jag kan det. Faktum är att den enda metod jag kan komma på är denna:

Stoppa så många tekniker som möjligt i ryggsäcken, och titta på så många exempel som möjligt på hur och när dessa tekniker kan användas, så att du i en (relativt) obekant situation ger dig själv goda möjligheter att se (hitta) ett lämpligt "Heureka"-steg.

Jag tror nämligen inte att man kan befinna sig i en totalt obekant situation. Alternativt att om man kunde det, så skulle man inte ha något verktyg (annat än slumpen) att hantera detta. Man skulle inte kunna förbereda sig för det.


Om man delar mina tvivel på möjligheten att lösa - eller ens råka ut för - genuina "problem", enligt ovanstående definition, blir det intressant att fundera över vad man då kan mena med att det inte finns någon given lösningsmetod. Mitt svar blir att detta i så fall endast innebär att man är relativt ovan vid just den typ av problem (uppgift) som man ställs inför.

Detta innebär i sin tur att det inte finns någon väsensskillnad mellan uppgifter inom diskret matematik och uppgifter inom andra grenar av matematik som är betydligt vanligare i skolan. Det rör sig i stället om en gradskillnad, och denna förklaras helt av den utsträckning i vilken man exponeras för uppgiftstypen.


Det här med att inte veta om (när) man är färdig, det är ju något som är vanligt överallt utom i den traditionella skolmatematiken. Förmåga att hantera sådana situationer är också det ett prioriterat område för skolan - både före och efter den senaste reformen. Och det är betydligt lättare att lära ut än den mytomspunna problemlösningsförmågan. Här kan vi dessutom arbeta tillsammans över ämnesgränserna, utan problem.

Det handlar om att vara kritisk till sina egna och andras förslag, att utsätta dem för systematisk (!) prövning, att söka upp alternativ, att bjuda in och värdera kritik, m.m. Att vara skeptisk och konstruktiv samtidigt. Och social.


Att ta sig an kombinatoriska problem med friskt mod är kanske en god indikator både på hur väl skolan tillämpar, såväl som ingjuter, Kaizen.


Gillar du att vinna men hatar att förlora?

Jag fick nyligen ett tips om det här klippet:


På YouTube presenteras det så här:
Här är klippet från hyllningsprogrammet "Ett liv i sport" där Ingvar Oldsberg intervjuar svenska världsstjärnor och sportlegender. En av Patrik Sjöbergs klubbkamrater från ÖIS hävdar att han skulle ha vunnit ett distriktsmästerskap som sedermera gjort Patrik till stjärna. Otroligt pinsamt! Saboterar hela programmet!!!!
Många verkar tycka att det här är riktigt roligt (själv tycker jag mest att det är hemskt). Jag har jag sett flera liknande klipp både på TV och på nätet, och de verkar vara mycket populära.

Just det här klippet ingår kanske i samma reklamkampanj som andra liknande pinsamheter, som t.ex. mannen som inte kan acceptera att han åker ut ur en frågesport; eller kvinnan som inte är nöjd med sin låda i Bingolotto, m.fl.? De klippen har ju visats på TV nyligen, i samband med någon reklamkampanj...

Men vänta nu... är det inte lite väl bra för att vara sant? Är det fejkat? Kan det verkligen vara så? Jag vet inte vad jag ska tro:

  • Patrik Sjögren och Ingvar Oldsberg ser ju ut att vara i sin nuvarande ålder, men programmet ser ut att ha sänts på 90-talet.
  • Är inte deltagarna lite väl märkliga? Osannolikt märkliga?
  • Skulle Patrik Sjöberg verkligen kunna sitta tyst genom något sådant här?


Nu har jag bestämt mig: Det är fejk! Tror jag... Men vad tror alla andra?

Jag bestämmer mig för att våga göra bort mig. Jag tänker deklarera högt och tydligt att det här är fejk. Låt andra skratta åt mig om det visar sig vara på riktigt i alla fall. Och låt dem skratta ännu högre om det visar sig att de tvärtom tycker att det är självklart att det är fejk - hur kunde jag ens överväga något annat!

Nu gäller det att fylla på med argument till stöd för övertygelsen om att klippet är fejk (och att detta samtidigt inte är helt självklart).

Det ingår förstås i reklamkampanjen att en del tror att klippet är äkta; att vissa tvivlar, och att andra söker efter sanningen; några spekulerar, o.s.v. Smart! Det aktiverar en jädra massa psykologiska krafter, både individuellt och socialt. Om det är det reklam, ja då stannar den verkligen kvar i huvudet på folk.

Är det inte Premieobligationer det handlar om? Jag tror det. De brukar ju alltid handla om att man kan vara med även om man är en dålig förlorare - eftersom man inte kan förlora.


Nu kommer jag att tänka på ytterligare ett psykologiskt fenomen: Egentligen är skillnaden i ålder uppenbar - i efterhand (när man har bestämt sig). Men en stark vilja att tro på sådana här pinsamheter och konflikter; och att få möjligheten att sprida dem vidare, gör att man inte registrerar skillnaden (kanske t.o.m. avfärdar den).


(Usch, det här kan bli pinsamt för mig. Nu har jag utarbetat en hel teori som förklarar varför klippet är fejk utan att ens försöka ta reda på fakta. Och nu känns det nästan som om jag inte ens behöver ta reda på fakta - min teori är ju så övertygande.)

Ytterligare ett fenomen som illustreras: Reklammakarna har lagt ned så stora resurser på både produktion och spridning att det verkar osannolikt att det är fejkat. Precis som i biologin, med starka och svaga signaler: En stark signal, som man inte kan fejka (t.ex. pengar eller stora horn), tas på större allvar. Dels för att det är riskablare att inte tro på den, men också för att den i någon mening inte kan ljuga - den som signalerar har uppenbarligen stora resurser (men kanske inte just dem som behövs för att besegra dig). Den korniga bilden, däremot är en svag signal om programmets ålder: den är lätt att fejka (men bidrar förvisso till illusionen).

Reklamkampanjens strategi påminner också om en spion-thriller: Säkerhetstjänsterna är alltid noga med att desinformation ska hittas av den som ska luras, snarare än att avslöjas av "misstag".

Denna strategi utnyttjar också confirmation bias: De kopplingar du själv gör är svåra för dig att utsätta för kritisk granskning - du letar snarare efter stöd för din första, reflexmässiga tolkning.



Och hela den här texten är förstås, i sig själv, ett utsökt exempel på alla ovanstående fenomen.


Man kanske skulle försöka leta efter lite fakta i alla fall...

Jamen, titta här!

Riksgälden | Reklamfilmer


Det fanns förstås en poäng i att jag skrev allt det här utan att först söka fakta. Stark signalering, du vet...

1 juli 2013

Schackdatorernas maratonmatch: en grundsten i Dennetts kompatibilism

Nyligen utkom Daniel C. Dennetts senaste bok Intuition Pumps and Other Tools for Thinking på engelska. Nedan följer en fri och förenklad översättning av det jag anser vara bokens nyckelkapitel, kapitel 70: "A Computer Chess Marathon" (s. 384-392), i vilket Dennett anför ett slagkraftigt argument för sin version av kompatibilism, och lägger grunden till en övertygande sammanjämkning av materialism, moral och juridik (vilken han delvis genomför i de följande kapitlen).

---

Det är djävulskt svårt att tänka klart om determinism och val. Om världen är deterministisk (1), finns det då egentligen några valmöjligheter? Om en agent (2) som verkar ha en fri vilja i själva verket är deterministisk, och om den befinner sig i en deterministisk värld, måste vi då frånkänna den alla val, alla möjligheter? Låt oss undersöka frågan genom att betrakta en förenklad värld - schack - inuti en annan, konstgjord och helt deterministisk värld: en dator.

Anta att du installerar två olika schackprogram på din dator, kopplar ihop dem med ett litet övervakningsprogram, och låter dem spela mot varandra, match efter match, i en lång (kanske oändlig) följd. Kommer de att spela samma parti, om och om igen, tills du stänger av datorn? Du skulle kunna ställa in allting så, men då skulle du knappast få reda på någonting intressant om de båda programmen, A och B. Anta att A besegrar B i detta enda upprepade parti. Du skulle inte kunna dra slutsatsen att A är bättre än B, eller att A skulle besegra B i ett annat parti, och av dessa exakta upprepningar skulle du inte lära dig något om de båda programmens styrkor och svagheter. Betydligt mer intressant vore att arrangera en turnering där A och B spelar en serie olika partier. Det kan lätt ordnas. Om något av schackprogrammen använder en slumptalsgenerator (3) i sina beräkningar (om det t.ex. då och då "singlar slant" för att avgöra sitt nästa drag när inga andra skäl väger över åt något särkilt alternativ) så kommer denna att ge olika värden i olika matcher (om den inte återställs) och följaktligen kommer olika alternativ att utforskas, i en annan ordning, vilket ibland kommer att leda till att andra drag "väljs". Olika varianter av partiet kommer att spelas upp, i en serie där ingen match är den andra lik. Om du däremot startade om datorn så skulle exakt samma serie av matcher spelas upp på nytt, eftersom exakt samma slumptalsserie skulle bestämma programmens alla "slantsinglingar".

Anta nu att vi arrangerar en sådan schackturnering mellan två program, A och B, och studerar en serie av tusen matcher. Vi kommer att finna många tillförlitliga mönster. Anta att vi finner att A alltid besegrar B, i tusen olika partier. Det är ett mönster som vi skulle vilja förklara, och att påstå att "A är förutbestämt att besegra B eftersom programmen är deterministiska" skulle inte förklara någonting. Vi vill veta vad det är som gör att strukturen, metoderna och reaktionerna hos program A är överlägsna. A uppvisar en kompetens eller en styrka som B saknar, och vi måste isolera denna faktor. Förklaringen skulle kunna ligga på en låg nivå: det skulle t.ex. kunna visa sig att A och B i själva verket är samma program, identiska på programkodsnivå, men att A har kompilerats (4) effektivare och därför kan utvärdera fler drag än B på samma tid. A "tänker exakt samma tankar" som B, och B "vet" lika mycket (exakt samma saker) som A, men A tänker helt enkelt snabbare. (I verkliga turneringar används alltid en schack-klocka; om din tid tar slut innan du har gjort dina drag så förlorar du.) Men det är troligare att program A:s överlägsenhet måste förklaras på en högre nivå, där vardagliga schacköverväganden görs: representationer av brädpositioner, värderingar av olika möjliga fortsättningar, beslut om vilka möjligheter som ska utforskas djupare, o.s.v. Kanske förändrar program A det relativa värdet av sina pjäser efterhand som partiet fortgår, eller använder bättre värderingsfunktioner för brädpositioner, eller beslutar att avbryta utforskningen av vissa scenarior tidigare eller senare. Det "tänker inte samma tankar som B"; det "tänker bättre, mer sofistikerade tankar". (Typ "tänker", alltså. Det är ingen medveten person.)

Experimentet blir mer givande om samma program inte vinner varje gång. Anta att A nästan alltid besegrar B, och att A värderar olika drag enligt helt andra principer. Då skulle vi ha något än mer intressant att förklara. Och för att undersöka orsakerna till detta skulle vi behöva studera tusentals olika partier och leta efter fler mönster. Vi skulle garanterat hitta massor av dem. En del av dem skulle vara typiska för spelet schack, hur det än spelas (t.ex. att B nästan säkert förlorar de partier då det har färre torn kvar i spel), och en del skulle bero på A:s och B:s egenheter som schackspelare (t.ex. B:s tendens att flytta ut sin drottning alltför tidigt). Vi skulle hitta typiska strategiska mönster, såsom det faktum att när B:s tid håller på att ta slut söker det inte lika långt ned i spelträdet som det annars skulle ha gjort i motsvarande situation. Ja, vi skulle hitta en stor mängd förklaringsmässiga regelbundenheter, vissa undantagslösa och andra statistiska.

Alla dessa lätt igenkännliga schackdragsmönster sticker tydligt ut i den deterministiska parad som på mikro-nivå inte ser ut att innehålla några utmärkande drag. Det som ur ett perspektiv ter sig som två schackprogram inbegripna i en spännande kamp kan, genom "mikroskopet" (där vi betraktar instruktioner och data som flyter genom datorns processor) ses som en enda deterministisk automat som utför steg för steg i en enda möjlig ordning, där varje steg kan förutsägas genom granskning av det exakta tillståndet hos slumptalsgeneratorn och övriga delar av program och data. Det finns inga "verkliga" förgreningar i dess framtid; alla "val" som A och B gör är redan bestämda av det totala tillståndet hos datorn och dess minne. Ingenting, verkar det, är "möjligt" i denna värld, förutom det som faktiskt sker. Anta t.ex. att B vid tidpunkt t är nära att uppnå ett läge där vinst är garanterad efter ett visst (stort) antal drag, men att tiden tar slut och att B därför avbryter sin sökning efter det avgörande draget ett beräkningssteg för tidigt. Den där garanterade segern skulle aldrig kunna ha hänt. (Vilket vi kan bevisa, om vi tvivlar på det, genom att köra exakt samma turnering en annan dag. B:s tid skulle ta slut på exakt samma ställe, vid motsvarande tidpunkt.)

Så vad kan vi säga? Är detta verkligen en värld utan förebyggande och undvikande, utan offensiv och defensiv, utan förlorade chanser, utan verkliga subjekts anfall och försvar, i avsaknad av äkta möjligheter? Förvisso är våra schackprogram, likt insekter och fiskar, alldeles för enkla agenter för att betraktas som trovärdiga kandidater för moraliskt betydelsefull fri vilja, men determinismen i deras värld fråntar dem inte deras lika styrkor, deras olika förmågor att använda sig av de möjligheter som den erbjuder. Om vi vill förstå vad som händer i denna värld kan vi - måste vi - tala om hur deras informerade val orsakar förändringar i deras omständigheter, och om vad de kan och inte kan göra. Om vi vill frilägga de orsakssamband som förklarar de mönster vi upptäcker i de där tusen schackmatcherna så måste vi på allvar utgå från det perspektiv som beskriver en värld innehållande två agenter, A och B, vilka försöker besegra varandra i schack.

Anta att vi ställer in turneringsprogrammet så att en klocka ringer varje gång A vinner, och en vissla ljuder varje gång B vinner. Vi startar maratonmatchen och en betraktare, som inte känner till någonting om programmet, noterar att klockan ringer ganska ofta och att visslan sällan ljuder. Vad kan förklara denna regelbundenhet, undrar hon. Den regelbundenhet med vilken A besegrar B kan upptäckas och beskrivas utan att inta det intentionella förhållningssättet (5), men den kan inte förklaras. Den enda förklaringen - rätt förklaring - kan vara att A:s "föreställning" om vad B kommer att göra om... är bättre än B:s "föreställning" om vad A kommer att göra om... I sådana fall är det nödvändigt att inta det intentionella förhållningssättet för att hitta förklaringen.

Allt väl, så långt. Men alla dessa "beslut" och "val" verkar bara vara... typ beslut och val. Det verkar som om de saknar någonting som verkliga val har: "kunde ha gjort något annat". Men låt oss titta närmare på ett specifikt exempel, eftersom allt inte är vad det verkar vara. Det underlättar om vi tar med ett tredje schackspelarprogram, C, i vår turnering. Och låt oss anta att C är bättre än A och B och  nästan alltid besegrar dem. Vi antar vidare att de första tolv dragen i ett par av dessa matcher är exakt desamma och att C vinner båda och besegrar både A och B, fast längs två olika vägar efter de första tolv dragen. De experter som i efterhand analyserar partierna klurar ut att om A eller B som sina tolfte (och sista gemensamma) drag hade gjort en rockad så hade C troligen förlorat. En rockad i tolfte draget var nyckeln till vinst, och det missade både A och B.

Personen som har skapat program A rycker på axlarna och säger: "Tja, mitt program, A, kunde ha gjort en rockad", och personen som har skapat program B svarar "Det kunde mitt program, B, också ha gjort". Men skaparen av program A har rätt medan skaparen av program B har fel! Hur kan det vara så? Turneringsprogrammet T är deterministiskt, och om vi kör matcherna igen, från exakt samma utgångstillstånd, kommer vare sig A eller B att göra en rockad. Lurar inte skaparen av program A sig själv? Inte nödvändigtvis. Vad är det vi försöker ta reda på när vi frågar om A hade kunnat agera annorlunda? Att titta på exakt samma parti, om och om igen, ger ingen information. Men att titta på liknande fall är däremot upplysande. Om vi märker att A i många andra liknande situationer i andra partier faktiskt fortsätter sin utvärdering lite längre, upptäcker värdet av en rockad och genomför den, då kan vi ställa oss bakom programskaparens övertygelse att A kunde ha gjort en rockad.

Vi skulle kunna upptäcka att det hade räckt att skifta en enda bit (6) i slumptalsgeneratorn för att A skulle ha gjort en rockad. Anta att A:s skapare gräver djupt i körningen av programmet och kan visa att A, i det här fallet, avbröt sin utvärdering ett enda beräkningssteg för tidigt. (Alla schackprogram, oavsett hur bra de är, måste avbryta sin sökning efter det bästa möjliga draget godtyckligt vid någon tidpunkt.) A övervägde en rockad, och hade påbörjat sin analys av det förväntade resultatet, men eftersom tiden höll på att ta slut vände den sig till slumptalsgeneratorn, "singlade slant" och nöjde sig med det bästa drag som den hittills hade funnit - och det var inte en rockad. Om slumptalet hade blivit en etta i stället för en nolla så hade A fortsatt sin analys ytterligare några steg, och gjort en rockad. "Skifta bara en enda bit i slumptalet så vinner A!" säger skaparen. Vi skulle säga att i det här fallet var A:s uteblivna rockad oflax, otur med slumptalsgeneratorn.

När vi vänder oss till skaparen av program B får vi ingen motsvarande redogörelse som stöd för påståendet att B skulle ha kunnat göra en rockad under de aktuella omständigheterna. Det stämmer att B "vet" att en rockad är möjlig i denna situation, och kanske också att det som hastigast "övervägde" rockad, men B var inte i närheten av att välja rockad vid det här tillfället. Rockaden var ett "djupt" drag, den sorts drag som åtföljs av ett "(!)" i tidningarnas schackkolumner, och långt bortom B:s begränsade analyskapacitet. Här har vi alltså en helt deterministisk värld - program T - i vilken A kunde ha gjort en rockad, men B inte kunde ha gjort det. Skillnaden mellan A och B är verklig och har förklaringskraft, en skillnad i kompetens eller förmåga. Ett sätt att uttrycka det är uppenbart motsägelsefullt:

A kunde ha gjort en rockad vid tidpunkt t men världen kunde inte ha innehållit en rockad vid tidpunkt t.

Vad skulle rimligen kunna rättfärdiga detta sätt att beskriva situationen? Helt enkelt detta: om vi betraktar A avskild från dess omedelbara omgivning - vilken innefattar slumptalsgeneratorn - då är A:s val att göra en rockad eller inte obestämt. Det beror på något som strikt talat ligger utanför systemet. Givet det sätt på vilket resten av världen var organiserad vid tidpunkt t var en rockad inte möjlig för A, men det är "inte A:s fel". B, å andra sidan, skulle inte ha kunnat göra en rockad; det låg inte i B:s natur att göra en rockad. Att föreställa sig B göra en rockad skulle kräva alltför många modifikationer av den föreliggande situationen.

Det här är en användbar upptäckt: en distinktion mellan vad A och B "kunde göra" som inte är beroende av indeterminism. Även i en deterministisk värld kan vi se att A kan göra vissa slags saker som B inte kan göra, och denna skillnad är en del av förklaringen till varför A besegrar B. Det faktum att determinismen i den här världen innebär att A och B bara kan göra det som de faktiskt gör vid det aktuella tillfället (och skulle göra igen och igen om exakt samma omständigheter upprepades) är helt enkelt inte intressant, och inte relevant för förklaringen vi får till den helt objektiva och tydliga regelbundenheten: A besegrar B.

Ett schackprogram är inte en moralisk agent, och det är inte moraliskt ansvarigt för de val det gör - dess värld är helt amoralisk, och att bryta mot någon av schackreglerna är helt enkelt otänkbart för ett schackprogram, och kräver därför inga straff för överträdelser. Men som vi just har sett, kan vi även i datorschackets enkla och deterministiska värld peka på en verklig och viktig skillnad mellan A och B. Ibland, när A gör något dumt eller smart, kan vi säga "A kunde ha gjort något annat, men B kunde inte ha gjort något annat". Om du tänker att det måste vara ett misstag, för att "vare sig A eller B kunde någonsin ha gjort något annat eftersom världen är deterministisk", så är det du som gör misstaget.

A och B skiljer sig åt i schackspelsförmåga, och "kunde ha gjort något annat" fångar snyggt in en del av den skillnaden, som vi precis har sett. Hur är det med moralisk förmåga? När folk säger att vissa människor som gör dumma saker "kunde ha agerat annorlunda" och använder detta som ursäkt för att inte förlåta dem, och samtidigt menar att andra människor i liknande situationer inte kunde ha agerat annorlunda, begår inte heller de något misstag - och detta oberoende av huruvida världen är deterministisk eller inte. De framhåller en verklig skillnad i moralisk kompetens som inte beror på vare sig determinism eller indeterminism, och som kan ligga till grund för en skillnad i hur vi reagerar.

För att se detta tydligare kan du tänka dig att det är du som har skapat program B. Du vill veta om du har upptäckt en svaghet i B. Här har vi ett parti där en utebliven rockad kostade segern; kunde då B ha gjort en rockad? Om allt som krävdes för det var att skifta en enstaka bit i slumptalsgeneratorn, ja, då kanske inga förbättringar är påkallade. I liknande situationer händer det alltsomoftast att B gör en rockad, och bättre än så kan det kanske inte bli. Alla program måste använda slumptal då och då ("singla slant") för att avsluta sökningar och komma vidare, och därför kommer det alltid att uppstå tillfällen där sökningen avbryts precis innan en upptäckt, på grund av en slantsingling. Och lägg märke till att det inte hjälper att använda en kvant-slumptalsgenerator, t.ex. en Geiger-mätare som spyr ur sig bitar baserade på sub-atomära partiklars obestämda banor. Fundera på vad vi då skulle säga om B i det fall då B inte gör en rockad på grund av en enstaka nolla där det kunde ha varit en etta. Om kvant-slumpgeneratorn ger ifrån sig en nolla så gör B en rockad; om den ger ifrån sig en etta så gör B inte en rockad. "B kunde ha gjort en rockad" säger någon när ettan dyker upp. Ja, men B är inte friare för det. I en följd av partier där sådana här situationer förekommer, kommer B att göra en rockad i hälften av fallen, och inte göra en rockad i den andra hälften, oavsett om slumptalsgeneratorn är "äkta" eller "pseudo". Filosofen David Wiggins skrev en gång om determinismens "kosmiska orättvisa" men vår intuitionspump visar att indeterminismen är lika "kosmiskt orättvis". B är "utlämnad åt" sin slumptalsgenerator eller sin pseudo-slumptalsgenerator (Det är förstås A också; det är vi allihop.) Det finns ingen anledning att föredra den äkta slumptalsgeneratorn - om du inte planerar att spela schack mot en allvetande Gud, förstås, som kan skärskåda din pseudo-slumptalsgenerator och planera därefter!

Så, vi söker fortfarande efter en anledning att önska indeterminism. Kanske kan vi få all den fria vilja som är värd att önska sig utan att indeterminism spelar någon roll. Här är ett annat möjligt skäl:

Jag kan inte ändra det förflutna, men om världen är indeterministisk kan jag ändra framtiden!

Näpp. Ändra framtiden från vad till vad? Från det den skulle ha blivit till det den kommer att bli? Du kan inte ändra framtiden mer än vad du kan ändra det förflutna. Begreppet är oklart. Så:

Om världen är deterministisk så kan jag inte ändra framtiden, och om världen inte är deterministisk så kan jag inte ändra framtiden. Av detta följer att jag inte kan ändra framtiden.

Varför verkar det som om vi vill ändra framtiden? Därför att vi vill kunna förutse olyckor och göra något för att dessa olyckor inte ska inträffa. Och det kan vi göra, oberoende av indeterminism. Om någon kastar en tegelsten mot dig och du ser den och duckar så kan du undvika att bli träffad av tegelstenen. Bra för dig. Skulle kollisionen ha ägt rum? I en mening, ja, eftersom stenen tydligt var på väg mot ditt huvud, men eftersom du såg den (vilket orsakades av ljuset som studsade från den in i dina ögon där din din hjärna beräknade risken, vilket fick den att vidta handling), undvek du den. Om du hade velat undvika att undvika den (om något skäl till varför det faktiskt skulle vara bättre för dig att låta den träffa dig hade föresvävat dig), hade du förstås kunnat göra just det. En observatör skulle kanske inte kunna avgöra, förrän i sista ögonblicket, om du skulle bli träffad eller inte. Och om han hade slagit vad om att du skulle ducka så hade han förlorat. Vi är tillbaks till vårt skäl att vilja vara oförutsägbara, vilket inte kräver indeterminism.

Vad åstadkommer den här intuitionspumpen? Den tar den välbekanta frasen "kunde ha agerat annorlunda" och visar att den, i motsats till den utbredda men ogenomtänkta uppfattningen, i en viktig mening inte är beroende av indeterminism. Om det finns en betydelse av "kunde ha agerat annorlunda" som är både inkompatibel med determinism och moraliskt viktig - inte bara en metafysisk kuriositet - så återstår det att visas, och bevisbördan ligger på dem som tror att det är så. Ytterligare en "självklarhet" avslöjad som inte fullt så självklar trots allt.


---

1. I princip förutbestämd; möjlig att förutse.

2. Någon eller något som verkar i världen på ett till synes målinriktat sätt.

3. Egentligen en pseudo-slumptalsgenerator, vars värden i princip kan förutsägas.

4. En kompilator översätter ett program skrivet av en människa till instruktioner som en dator kan följa.

5. Att betrakta något (någon) som målinriktat, rationellt; som om det tror och önskar saker.

6. Den minsta enheten i en dators minne, vilken innehåller antingen 1 eller 0.


30 juni 2013

Sweet Tooth: varning för tandröta

Jag törstade efter en form av naiv realism. Jag blev särskilt uppmärksam, jag sträckte fram mitt läsarhuvud, så snart det nämndes en Londongata som jag kände till, eller en klänningsmodell, en verklig offentlig person, till och med ett bilmärke. Då, trodde jag, hade jag en måttstock, jag kunde bedöma skrivandets kvalitet utifrån dess exakthet, utifrån hur väl det gick i linje med mina egna intryck, eller förstärkte dem. [...] Jag var inte imponerad av de där författarna (de var utspridda över Sydamerika och Nordamerika) som nästlade sig in på sina egna sidor som en del av persongalleriet, fast beslutna att påminna den arma läsaren om att samtliga gestalter och till och med de själva var rena fantasifoster och att det fanns en skillnad mellan fiktion och liv. Eller, tvärtom, hävdade att att livet hur som helst var en fiktion. Endast författare, tänkte jag, löpte någonsin risken att blanda ihop dem. Jag var en boren empiriker. Jag trodde att författare fick betalt för att låtsas och att de, där det var lämpligt, borde använda sig av den verkliga världen, den som vi alla hade gemensamt, för att skänka trovärdighet åt allt de hade hittat på. Alltså inget köpslående om begränsningarna för deras konst, ingen trolöshet mot läsaren genom att i förklädnad tyckas gå av och an över det imaginäras gränser. [...]
(s. 78)

John Mullan beskriver i Guardian hur McEwan lyckas lura både sin läsare och sin protagonist. Efter en mycket vaksam läsning känner jag mig inte särskilt lurad. Jag misstänker däremot att McEwan driver med sig själv. Helt klart driver han i varje fall med läsare som jag. Och kanske med hela den postmodernistiska genren? Kanske säger han: "Visst, trolleritrick kan vara kul. Men någon jävla ordning får det vara." Eller kanske snarare: "Hör du, Auster - så här ska det gå till".

[...] Inte förrän på sista sidan upptäckte jag att berättelsen jag läste i själva verket var den som kvinnan höll på att skriva. Apan existerar inte, den är en gengångare, ett foster av hennes enerverande fantasi. Nej. Och åter nej. Inte detta. Bortom den krystade och löjliga frågan om sex över artgränserna misstrodde jag instinktivt den här sortens litterära konstgrepp. Jag ville känna marken under mina fötter. Det fanns, enligt min åsikt, en oskriven överenskommelse med läsaren som författaren måste följa. Inget enda inslag i en fantasivärld och ingen av dess gestalter skulle tillåtas att lösa upp sig på grund av en nyck från författaren. Det påhittade måste vara lika gediget och lika förenligt med sina egna förutsättningar som det verkliga. Det var en överenskommelse grundad på ömsesidig tillit.
(s. 216)

Men boken är mycket rikare och mer mångfacetterad än så. Utöver den litterära experimentlådan, utöver 70-talsbeskrivningen, och utöver det jag karakteriserat som en insiktsfull tablå av "psykologiska invarianter guppande i samhällskulturella dyningar med decennielånga våglängder" - Om jag bara i detta sökande hade mött en enda uppenbart ondskefull människa - finns här också en diskussion av relationen mellan konst, humaniora och (natur)vetenskap. (Det är inte utan orsak som McEwan tillhör nätverket Edge. Boken är för övrigt tillägnad Christopher Hitchens.) Och man måste bara älska de två kapitel där sannolikhetsproblemet uppkallat efter Monty Hall (!) studsar runt i dessa olika världar och bland annat får Författaren att drabbas av yrsel och illamående, och Förläggaren att drabbas av leda.

Vad den definitivt inte är - i varje fall inte till den grad som de enda två citaten på pocketutgåvans pärmar vill göra gällande - är en "stilsäker agentroman" (Sundsvalls tidning) eller en "spionroman" (Expressen). Det vore en stor, om än osannolik, tragedi om recensenter och förläggare faktiskt uppfattade den så. Men minst lika tragiskt är att genuin kvalitet alltså aktivt måste döljas på en marknad där vinning står att göras endast med lättsmält godis. Som att kränga Bachs cellosviter som "perfekt avslappning för lata dagar på stranden".


(Redan efter de första sidorna bad jag min fru att läsa boken efter mig. Jag ville att hon skulle ta ställning till hur väl McEwan lyckas inta en kvinnas perspektiv. Det var något där som skavde... något om sex, relationer, könsroller... men jag ville inte tro att McEwan skulle göra mig besviken. --- Besviken blev jag däremot i efterhand på de recensenter som framhöll just detta som en brist.)


Sidhänvisningarna och citaten gäller pocketutgåvan av [Uppdrag] Sweet Tooth av Ian McEwan, översatt till svenska av Maria Ekman och utgiven av Brombergs 2012.

13 apr. 2013

Datorer i matematikundervisningen

Confrad Wolfram: "Teaching kids real math with computers"


Jag pendlar mellan att å ena sidan köpa Wolframs koncept rakt av, och å andra sidan göra liknande invändningar som dem han själv tar upp i sitt föredrag.

Jag tror att Wolfram överskattar många elever och lärare, genom att utgå från sig själv. Jag ser också några luckor i hans resonemang.

Wolfram säger inledningsvis att matematikundervisning har tre huvudsakliga mål:

a) Tekniskt avancerade yrken

b) Medborgarkompetens

c) Rationellt tänkande


Längre fram beskriver han matematik som en process i fyra steg:

1) Ställ rätt frågor

2) Modellera frågorna (matematiskt)

3) Besvara frågorna genom beräkning

4) Återför svaren från modellen till verkligheten


De tre sista stegen använder utgår vi ofta ifrån i dag: Vi talar ofta om modellering, och att röra sig in och ut ur en matematisk modell för att formulera och besvara verkliga problem. Jag antar att en del av Wolframs resonemang går ut på att det för många elever hade varit bättre att fokusera mer på steg 1 än på steg 3. Och det kan jag hålla med om. Inte minst på yrkesprogrammen.

Även tekniker och naturvetare hade mått bra av att arbeta mer med steg 1, men de bör också fokusera på steg 3. Wolfram menar att detta kan göras genom att låta eleverna formulera algoritmer och skapa de program som de sedan använder*. Det är bra tänkt, men alla elever kommer inte att klara av detta inom rimlig tid. Och då får de varken beräkningskompetens eller förståelse. För engagerade elever med gott om tid (!) skulle det nog fungera. Men så är det ju med allting...

När det gäller yrkesprogrammen är faran att mål (c) inte uppfylls. I en tredje grupp har vi samhällsprogrammen (S, H, E). På pappret kan det verka som om även dessa - i likhet med yrkeselever - skulle tjäna på att fokusera på steg 1 i stället för på steg 3. Och delvis är det korrekt. Steg 1 bör prioriteras, mer än i dag. Men att göra detta på bekostnad av steg 3 skulle förvärra den tendens som finns redan idag, nämligen att modeller används som "svarta lådor" som inte alltid förstås och ifrågasätts i tillräcklig omfattning.


---

(*) En elev undrade varför han var tvungen att använda derivatans definition för att besvara en fråga på matteprovet. Varför kunde han inte använda deriveringsreglerna direkt? Jag svarade att de fick han - om han bevisade dem först.

12 apr. 2013

Interludium: Höjda lärarlöner?

DN 12/4: "Höj kraven för att bli lärare"

Jag tycker att lönefrågan är upphausad. Det är engagerade och kunniga lärare vi vill ha - inte strebrar. Folk som i första hand motiveras av lönen är sällan något att ha, i min erfarenhet.

Jag ser hellre en tillfällig brist på nyutexaminerade lärare och en utrensning av undermåliga lärosäten, som en konsekvens av höjda antagningskrav. Det är klart att vi ska ställa höga krav på (potentiella) lärare - precis som på alla andra sökanden till kvalificerade utbildningar; på de examinerade; och inte minst på (personalen på) lärosätena själva.

Vi flyttar bara problemet om vi lockar duktiga studenter till lärarutbildningen men låter andra utbildningar fyllas av dem som skriver sub-1,0 på högskoleprovet. Högre utbildning ska inte fungera som en arbetsmarknadsåtgärd - vare sig för studenter eller för personal! (Och det kvasi-vetenskapliga ämnet pedagogik har en märklig dragningskraft på flummare.)

För övrigt är det inte lärarutbildningar per se som vi ska fokusera på, utan ämnesutbildningar. De bästa lärarna är de som i botten har en ämnesutbildning. (Jag är misstänksam mot lärare som gått direkt till en lärarutbildning efter gymnasiet.) Vägarna till läraryrket bör vara flera, och det är här - om någonstans - som man bör arbeta med (icke-pekuniära) incitament, och vara flexibel.

Kompetenta arbetsgivare (i statlig tjänst) bör få större frihet att anställa dem som verkligen är (potentiellt) goda lärare, snarare än att inkompetenta kommunaltjänstemän regleras att strikt följa uppblåsta och elaborerade formella behörigheter (legitimation) som de ändå inte begriper.

Björklund har fel på flera sätt, och dessutom är han inkonsekvent. En sak som stör mig är hans tro på att inte bara höjda löner utan framför allt större löneskillnader skulle vara verkningsfullt. Det där är ju ren ideologi, utan någon verklighetsförankring. (På samma sätt som det nya betygssystemet på något sätt skulle fungera inte bara för att tydligare sortera elever, utan också - på något magiskt vis - höja allas betyg.)

Men det mest anmärkningsvärda i hela utbildningsdebatten är att ingen vågar röra vid de verkliga problemen. De är, i korthet, att allt färre elever, studenter, föräldrar, lärare och lärarutbildare har det intresse och engagemang; den självkritik, arbetsmoral och ackumulerade kunskap som krävs för att komma långt inom något gebit. Och detta, i sin tur, beror, i korthet, på den omgivande samhällskulturen (tekniken, ideologin, m.m.) Samtidigt "måste" allt fler bli akademiker, av något slag.

Ska vi vända på den här skutan så måste vi börja ställa högre krav. På oss själva och på varandra. På riktigt. (Något säger mig att ev. höjda antagningskrav snart drabbas av inflation, på samma sätt som betygen.)

22 mars 2013

Korrelation och kausalitet, lite metodologi, källkritik och vetenskapsjournalistik


I tidningen ser du en artikel med rubriken "Överviktiga är sjukare".

Betyder detta att övervikt orsakar dålig hälsa?

Eftersom du är en eftertänksam person läser du artikeln noga, och ställer källkritiska frågor: Vem säger vad till vemvar, när, hur och varför? Låt oss säga att artikeln nyligen publicerades i en större dagstidning och är skriven av en (frilansande) vetenskapsjournalist. Journalisten skriver att en stor nationell studie nu bevisat det vi redan misstänkte: Övervikt orsakar ohälsa.

Artikeln baseras i sin tur på en rapport från en longitudinell studie som genomförts vid ett universitetssjukhus och som i dagarna publicerats i en (känd) vetenskaplig tidskrift. Forskarna som skrivit rapporten är välmeriterade medicinska specialister. I rapportens sammanfattning skriver de att studien med stor säkerhet visar en tydlig negativ korrelation mellan övervikt och hälsa.

Du noterar att studien inbegripit tusentals personer som följts under två decennier, och utan att lusläsa rapporten bedömer du att urval och mätmetoder, m.m., verkar rimliga (intern validitet). De beräkningar och redovisningar av korrelationens styrka och signifikans som redovisas motiverar slutsatsen att studien "med stor säkerhet visar en tydlig negativ korrelation mellan övervikt och hälsa" (reliabilitet). Du bedömer vidare att forskarnas definitioner av "övervikt" och "hälsa" är relevanta (extern validitet), och att resultaten tycks gälla för en stor del av befolkningen (generaliserbarhet).

Du jämför studiens resultat med andra, jämförbara, studier och noterar att resultaten verkar ligga i linje med majoriteten av dessa (replikerbarhet). Samtidigt funderar du lite på om det kan vara så att studier som inte uppvisat liknande resultat helt enkelt sällan publiceras eller omnämns i medierna (publication bias).

Din undersökning ger vid handen att den bakomliggande studien är gedigen och värd att ta på allvar. Du konstaterar att artikeln som ursprungligen fångade ditt intresse var formulerad på ett sätt som inte återspeglade studien på ett korrekt och ansvarsfullt sätt. För det första är artikelns rubrik alltför vag och öppen: den kan tolkas på flera olika sätt, vilka studiens definitioner och resultat inte ger grund för. För det andra har journalisten använt ordet "bevis" på ett tvivelaktigt sätt. Och för det tredje - och viktigast - studien har inte visat att övervikt orsakar ohälsa. Den har inte ens utformats för att undersöka detta.

Du tänker först att sådana här missförstånd, överdrifter och förenklingar, de får man nog räkna med: Dagstidningar måste ju sälja lösnummer och journalister måste ju förtjäna sitt levebröd. Och förresten är det väl inte rimligt att förvänta sig att läsekretsen ska vara insatta i (eller ens intresserade av) vetenskapliga spetsfundigheter?

Fast, å andra sidan, är det verkligen försvarbart att förvanska vetenskapliga studier och resultat? Du - som själv har goda förkunskaper och instinkter, och som har företagit en ganska grundlig efterforskning - kan unna dig ett betrakta det hela med en viss distans. Men alla har kanske inte möjlighet att skapa sig en sådan distans. Vad ska de tro om det de läser i tidningen? Och hur påverkas de? Är det inte precis därför att de flesta människor varken har tid eller kunskaper att ifrågasätta det tidningen skriver som överdrifter och förenklingar är så farliga?

Nu när du har idkat källkritik, tillämpat dina kunskaper om vetenskaplig metodologi, och reflekterat över journalistikens villkor, är det dags att fundera lite djupare på sambandet mellan övervikt och hälsa.

Studien visar alltså inte att övervikt orsakar ohälsa (så som dessa termer har definierats). Den visar däremot en (tydlig, stark, negativ) korrelation mellan dessa. Med andra ord: studien visar inte ett kausalt samband mellan övervikt och hälsa; vad den visar är att övervikt och ohälsa samvarierar.

Låt oss säga att vi mäter BMI* och antalet (självrapporterade) sjukdomssymtom hos ett stort antal personer. Om det visar sig att personer med högt BMI rapporterar ett stort antal symtom, medan personer med lågt BMI rapporterar ett litet antal symtom, kan vi säga att att BMI och ohälsa är korrelerade. På motsvarande sätt: om vi mäter samma personer en tid senare och upptäcker att de personer vars BMI har ökat rapporterar fler symtom än tidigare, och de personer vars BMI har minskat rapporterar färre symtom än tidigare, har vi upptäckt en samvariation mellan BMI och ohälsa.

Vad vi inte har visat är att ett ökat BMI orsakar fler sjukdomssymtom. Det kan vi, strängt taget, aldrig visa med en studie som denna - oavsett hur stark, tydlig och pålitlig samvariationen är.

Ett kausalt samband mellan två företeelser, A och B, innebär att A orsakar B. Detta betyder inte (alltid) att A med nödvändighet medför B, utan att A direkt påverkar (förekomsten av) B. Vi kan t.ex. säga att ett virus orsakar förkylning, trots att exponering för viruset inte nödvändigtvis innebär att man blir förkyld.

En korrelation mellan A och B visar endast att förekomsten av A står i proportion till förekomsten av B (under vissa omständigheter).

Det finns flera tänkbara scenarier där vi observerar en korrelation mellan A och B utan att det föreligger  ett kausalt samband. Det kan vara så att:

  • B orsakar A. Det finns alltså ett orsakssamband, men det verkar åt motsatt håll. Denna påverkan kan vara direkt eller indirekt (se nedan). I vårt fall skulle det alltså kunna vara så att sjukdom leder till ett mindre aktivt liv, vilket i sin tur leder till ökad vikt.

  • A orsakar C (som orsakar D, som orsakar E...), som i sin tur orsakar B. I sådana här fall är det ofta missvisande att säga att A orsakar B även om företeelserna är förbundna av en orsakskedja. Det skulle t.ex. kunna vara så att ökad vikt leder till sämre självförtroende, vilket leder till isolering, vilket leder till passivitet, vilket i sin tur leder till sämre hälsa. Det är alltså inte övervikt i sig som orsakar ohälsa, utan andra faktorer som (oftare) förekommer i samband med övervikt. Man bör alltså inte förvånas över att ofta träffa på överviktiga personer som är kärnfriska.

  • A och C orsakar B. Här är det alltså endast i kombination med en eller flera andra faktorer som A orsakar B. Om C är allmänt förekommande, eller okänd, kan det verka som om A ensamt orsakar B. Ett exempel på detta är magsår: Man trodde länge att magsår orsakades av stress (och dåliga matvanor). Men nyligen upptäckte man att magsår orsakas av en bakterie, som endast i kombination med andra faktorer, bl.a. stress, ger upphov till besvär. 

  • C orsakar både A och B. Det här är en vanlig situation. Vi observerar att två faktorer, A och B, samvarierar och det ligger nära till hands att tro att den ena orsakar den andra. I själva verket påverkas båda faktorerna av en eller flera bakomliggande faktorer. Sambandet är alltså illusoriskt (spurious, confounded). För att undvika den här typen av misstag måste vi vara mycket försiktiga och uppmärksamma. Vetenskapen fortskrider ofta genom att successivt klargöra den här typen av samband. Tänk dig t.ex. att du gör ett stort representativt urval av människor i din kommun. Du mäter varje persons skostorlek och låter alla göra ett standardiserat intelligenstest för att mäta IQ. När du sammanställer dina data ser du en stark positiv korrelation mellan skostorlek och IQ. Vad är det frågan om? Kan det verkligen vara så att ökad skostorlek leder till högre intelligens, eller vice versa? Nej, naturligtvis inte. I stället är den avgörande faktorn i det här fallet ålder. Barn får inte lika höga poäng som vuxna på ett IQ-test. Och barn har mindre fötter än vuxna. I båda fallen är det åldern som är avgörande.

  • Korrelationen mellan A och B är slumpmässig (tillfällig, situationsberoende). Det finns helt enkelt inget orsakssamband mellan A och B. Den globala medeltemperaturen har stigit under de senaste århundradena, i takt med att antalet pirater har minskat. Det vore emellertid orimligt att dra slutsatsen att pirater kyler ner världshaven (och att koldioxidens påverkan är försumbar).

Studien av övervikt och hälsa är främst utformad för att utesluta tillfälliga samvariationer: Om det är något vi kan säga med säkerhet så är det just att den upptäckta korrelationen verkar mycket robust. Vad har vi då för glädje av denna information? Ja, dels kan det vara så att många andra studier indikerar olika möjliga orsakssamband som tillsammans gör det troligt att övervikt är en av flera bidragande orsaker till ohälsa. Att korrelationen är så stark motiverar att vi prioriterar arbetet med att - bl.a. med riktade experimentella studier - identifiera olika orsaksamband. Det kan också vara motiverat att motverka både övervikt och ohälsa även utan ett klarlagt orsakssamband (eller riktning).

För att visa ett kausalt samband mellan två faktorer, A och B, måste vi utföra experiment där vi successivt utesluter alla ovanstående möjligheter. Så gott vi kan. Om det över huvud taget är (praktiskt, etiskt) möjligt. (Du kommer att få lära dig mer om hur man utför experiment längre fram.)


Titta på det här inslaget från SVT:s Rapport om strålbehandling och hjärtinfarkt (14 mars 2013). Fundera på hur och varför de studier som rapporteras har utförts, vad de visar, och hur olika personer i inslaget tolkar och förhåller sig till dem. Vilka outtalade antaganden och kopplingar görs?

---

Förutom alla de fallgropar och praktiska problem som vi har uppmärksammat här, står vi inför ytterligare ett dilemma när vi diskuterar orsakssamband eller kausalitet. Och det är att själva begreppet, när man tittar närmare på det, inte är så självklart som man kanske kan tro. Faktum är att filosofer och vetenskapare inte är helt överens om vad vi bör lägga in i ordet orsak, eller när vi kan säga oss vara säkra på att ha upptäckt en sådan. Kanske är de orsakssamband vi tycker oss se omkring oss illusioner, vanor, eller en konsekvens av våra hjärnors uppbyggnad?


Som en övning, leta efter tidningsartiklar med rubriker i stil med: "Längre utbildning ger längre liv". Studera vad de säger, och undersök vad de bygger på. Försök att skilja på det du tror (dig veta), det som faktiskt skrivs; vad som verkar rimligt, och vilket stöd som finns för detta.


Läs mer: Allt som är fel med dagens journalistik om vetenskap

Läs mer: Correlation is not causation

Läs mer: cum hoc non propter hoc.


Läs mer: Nutrition science is complicated

---

(*) Body Mass Index

24 feb. 2013

You're not stupid, stupid!

In the 1970's, psychologists Harold Stevenson and James Stigler became interested in the math gap in performance between Asian and American schoolchildren: By the fifth grade, the lowest-scoring Japanese classroom was outperforming the highest-scoring American classroom. To find out why, Stevenson and Stigler spent the next decade comparing elementary classrooms in the U.S., China, and Japan. Their epiphany occurred as they watched a Japanese boy struggle with the assignment of drawing cubes in three dimensions on the blackboard. The boy kept at it for forty minutes, making repeated mistakes, as Stevenson and Stigler became increasingly anxious and embarrassed for him. Yet the boy himself was utterly unselfconscious, and the American observers wondered why they felt worse than he did. "Our culture exacts a great cost psychologically for making a mistake," Stigler recalled, "whereas in Japan, it doesn't seem to be that way. In Japan, mistakes, error, confusion [are] all just a natural part of the learning process." (The boy eventually mastered the problem, to the cheers of his classmates.) The researchers also found that American parents, teachers, and children were far more likely than their Japanese and Chinese counterparts to believe that mathematical ability is innate; if you have it, you don't have to work hard, and if you don't have it, there's no point in trying. In contrast, most Asians regard math success, like achievement in any other domain, as a matter of persistence and plain hard work. Of course you will make mistakes as you go along; that's how you learn and improve. It doesn't mean you are stupid. 
Making mistakes is central to the education of budding scientists and artists of all kinds, who must have the freedom to experiment, try this idea, flop, try another idea, take a risk, be willing to get the wrong answer. One classic example, once taught to American schoolchildren and still on many inspirational Web sites in various versions, is Thomas Edison's reply to his assistant (or to a reporter), who was lamenting Edison's ten thousand experimental failures in his effort to create the first incandescent light bulb. "I have not failed," he told the assistant (or reporter). "I successfully discovered 10,000 elements that don't work." Most American children, however, are denied the freedom to noodle around, experiment, and be wrong in ten ways, let alone ten thousand. The focus on constant testing, which grew out of the reasonable desire to measure and standardize children's accomplishments, has intensified their fear of failure. It is certainly important for children to learn to succeed; but it is just as important for them to learn not to fear failure. When children or adults fear failure, they fear risk. They can't afford to be wrong. 
There is another powerful reason that American children fear being wrong: They worry that making mistakes reflects on their inherent abilities. In twenty years of research with American schoolchildren, psychologist Carol Dweck has pinpointed one of the major reasons for the cultural differences that Stevenson and Stigler observed. In her experiments, some children are praised for their efforts in mastering a new challenge. Others are praised for their intelligence and ability, the kind of things many parents say when their children do well: "You're a natural math whiz, Johnny." Yet these simple messages to children have profoundly different consequences. Children who, like their Asian counterparts, are praised for their efforts, even when they don't "get it" at first, eventually perform better and like what they are learning more than children praised for their natural abilities. They are also more likely to regard mistakes and criticism as useful information that will help them improve. In contrast, children praised for their natural abilities learn to care more about how competent they look to others than about what they are actually learning. They become defensive about not doing well or about making mistakes, and this sets them up for a self-defeating cycle: If they don't do well, then to resolve the ensuing dissonance ("I'm smart and yet I screwed up"), they simply loose interest in what they are learning or studying ("I could do it if I wanted to, but I don't want to"). When these kids grow up, they will be the kind of adults who are afraid of making mistakes or taking responsibility for them, because that would be evidence that they are not naturally smart after all. 
Dweck has found that these different approaches toward learning and the meaning of mistakes - are they evidence that you are stupid or evidence that you can improve? - are not ingrained personality traits. They are attitudes, and, as such, they can change. Dweck has been changing her students' attitudes toward learning and error for years, and her intervention is surprisingly simple: She teaches elementary-school children and college students alike that intelligence is not a fixed, inborn trait, like eye color, but rather a skill, like bike riding, that can be honed by hard work. This lesson is often stunning to American kids who have been hearing for years that intelligence is innate. When they accept Dweck's message, Their motivation increases, they get better grades, they enjoy their studies more, and they don't beat themselves up when they have setbacks. 
The moral of our story is easy to say, and difficult to execute. When you screw up, try saying this: "I made a mistake. I need to understand what went wrong. I don't want to make the same mistake again." Dweck's research is heartening because it suggests that at all ages, people can learn to see mistakes not as terrible personal failings to be denied or justified, but as inevitable aspects of life that help us grow, and grow up.

Tavris & Aronson (2007), Mistakes Were Made, pp. 232-235

5 feb. 2013

Entreprenörer


"Entreprenörer": En demografisk pyramid

Alla skriker efter entreprenörer nuförtiden. Sverige och Europa behöver dem. Skola och högre utbildning ska dana dem. Samhället ska främja dem.

Bakåtsträvare, som jag, hävdar att de entreprenörer vi verkligen behöver är dem vi frambringar om vi agerar i rak motsättning till vad entreprenörsivrarna påbjuder. För vad är en entreprenör, egentligen? Någon som genom kunskap, uppfinningsrikedom, syntes eller nydanande tillämpningar bidrar med något positivt för alla och envar; något vars nytta vida överstiger dess negativa bieffekter.

När konsultfirmor, nyliberala tankesmedjor och allianspolitiker* ropar efter "entreprenörer" är det inte nyttiga entreprenörer i denna bemärkelse de söker, utan nyttiga idioter.

För cyniker på högerkanten utgörs "entreprenörer" till övervägande del av kanonmat: Individer som luras att frånsäga sig samhälleligt stöd mot att fritt få eftersträva sin egen framgång - och misslyckas.

Den andel entreprenörer som lyckas såtillvida att deras verksamhet kan integreras i den nationella ekonomin gör kortsiktig "nytta" enligt rådande kalkyler: de bidrar till omsättningen och därmed till BNP, men de negativa bieffekterna (de s.k. externaliteterna) överstiger ofta med råge den faktiska, långsiktiga nyttan - om man räknar dem alla.

Så har vi de entreprenörer vars exporterade produkter och tjänster bidrar till en positiv handelsbalans. Deras nytta för nationen måste avräknas mot externaliteter både inom och utom landet, och gör man verkligen det är den långsiktiga nyttan i många fall tveksam.

Kvarstår de individer som frambringar genuina - inte ekonomistiska - nyttigheter, och som dessutom kontrollerar för eventuella negativa bieffekter på lång sikt. Sådana människor kallas sällan för entreprenörer, och kanske är det bäst så.


Pathbreaking creativity requires many years of acquiring a deep knowledge base from which you can draw to make novel connections

Med ett snävt fokus på att enbart se till vår egen nations ekonomiska bästa och på andra länder som konkurrenter att tävla emot, så finns risken att vi prioriterar fel forskning.

---

(*) Även socialdemokrater och miljöpartister stämmer in i kören med lätt falska toner.

3 feb. 2013

Vet du att jag vet att du vet?

Anna, Britta och Cecilia är ute och går, då de måste kasta sig in på ett kafé för att undvika ett plötsligt oväder. Cecilia noterar att Anna och Britta är smutsiga i pannan, och att ingen av dem är medvetna om det. Cecilia är alltför finkänslig för att nämna denna pinsamma situation, vilket garanterat skulle få hennes vänner att rodna. Men hon observerar att hennes båda vänner, liksom hon själv, vet att någon är smutsig och att även de är alltför finkänsliga för att nämna det. Det slår Cecilia att även hon skulle kunna vara smutsig, men det finns inga speglar eller dylikt som kan klargöra vilket som är fallet.

Servitören passerar deras bord och säger: "Jag ser en smutsig panna!" Efter en stunds obekväm tystnad inser Cecilia att hon är smutsig i pannan, och rodnar. Hur gör servitörens uttalande det här möjligt?

Var och en av vännerna vet redan att att åtminstone en av dem är smutsig, så detta är ingen nyhet. Och var och en av vännerna kan se att hennes vänner ser minst en smutsig panna. Så alla vet redan att var och en visste vad servitören sa innan han berättade det. Men servitörens uttalande informerar också var och en av vännerna om att de alla vet att de alla vet (!) att någon av dem är smutsig. Detta är något som ingen av dem visste innan servitörens uttalande gjordes.

Exempelvis vet både Anna och Britta att de själva kan vara rena. Så Anna vet att Britta skulle kunna tro att Cecilia ser två rena pannor. Och om så är fallet vet Anna och Britta att Cecilia skulle kunna vara ovetande om att det finns minst en smutsig panna. Efter servitörens uttalande , och under förutsättning att vännerna är logiska, är Cecilias insikt oundviklig.

För att förstå varför, anta att Cecilia inte är smutsig i pannan. Då vet Cecilia att Anna ser en smutsig panna (Brittas), så Anna har inte fått någon ny information av servitören. Men Cecilia vet att Britta ser att Cecilias panna är ren, så om om Britta är ren skulle Anna se två rena pannor, och servitörens uttalande skulle då ha inneburit att Anna visste att hon var smutsig. Eftersom Anna inte rodnade vet Cecilia att Britta då skulle ha slutit sig till att hon var smutsig, och rodnat. Men eftersom Britta inte gjorde det, vet Cecilia att hennes antagande att hon själv är ren måste vara felaktigt.

The Tactful Ladies, som den återges i Gintis (2009), The Bounds of Reason, s. 153-

2 feb. 2013

Slottet, slumpen, sannolikheten och strategierna

Pelle och Lisa besöker Versailles. Endast bottenvåningen är tillgänglig för besökare (det går inte att förflytta sig uppåt).Våningen utgörs av m × n kvadratiska rum, med dörrar emellan.(1) Från varje rum kan man ta sig till fyra angränsande rum.(2) Låt oss också säga att det finns fönster i alla rum med ytterväggar, och i hörnrum, så att man där (men bara där) kan orientera sig efter solen.

Pelle och Lisa kommer ifrån varandra. De måste nu leta upp varandra igen. Hur lång tid kan det tänkas ta? I värsta fall? I bästa fall? I genomsnitt? Beroende på vilken strategi de eventuellt har kommit överens om på förhand? Eller beroende på de strategier som var och en funderar ut först när situationen uppstår?

Vi antar att de båda i varje tidsintervall förflyttar sig från ett rum till något av de angränsande rummen. Självklart kan de också välja att stanna i det rum där de för närvarande befinner sig, under ett eller flera tidsintervall.(3)

Om de båda irrar omkring planlöst i slottet kan sannolikheten för att de ska återfinna varandra i ett visst tidsintervall uppskattas till 1 / mn.(4)(5) I genomsnitt krävs det alltså omkring mn intervall. I bästa fall träffas de redan efter ett enda intervall. I värsta fall träffas de aldrig.(6)

Om Lisa stannar kvar på samma ställe och Pelle irrar runt planlöst, eller vice versa, gäller samma resonemang som ovan.(7)

Om Lisa stannar kvar på samma ställe och Pelle systematiskt söker igenom våningen(8) krävs max mn - 1 förflyttningar. I genomsnitt krävs då mn / 2 intervall.(9)  Men om båda stannar kvar på samma ställe, träffas de aldrig igen.

Det naturligaste sättet att söka igenom våningen systematiskt är att förflytta sig uppåt n rum; sedan till vänster; därefter nedåt n rum, och sedan till höger, o.s.v., m gånger. Eller, på motsvarande sätt, att förflytta sig till höger m rum; sedan uppåt; därefter till vänster m rum; och sedan nedåt, o.s.v., n gånger.(10)(11) Låt oss kalla dessa båda strategier vertikal respektive horisontell avsökning.

Om både Pelle och Lisa söker i samma ledd (horisontellt eller vertikalt), och åt samma håll, träffas de i värsta fall aldrig. (Men kanske ibland, och ganska snart, beroende på var de börjar, och eventuellt beroende på våningens dimensioner, m och n... Här är jag osäker.) Om de båda söker i samma ledd men åt olika håll krävs som mest mn / 2 tidsintervall. (Tror jag, men se ovan.)

Om de söker i olika ledd men åt samma håll; eller i olika ledd och åt olika håll - hur blir det då?

Om Pelle och Lisa inte har kommit överens om en strategi på förhand, hur bör de då agera? Det systematiska sökandets framgång är ju avhängig av vilka val de båda gör, och om valen inte är koordinerade på förhand är den därför avhängig slumpen.

Ett förslag är att var och en förflyttar sig till ett hörn, och alternerar mellan att vänta där (så många tidsintervall som det tar för den andra personen att ta sig ett varv runt ytterkanterna) och att själv ta ett varv runt kanterna. Men inte heller denna strategi eliminerar risken för att rundturerna är synkroniserade så att den ena hela tiden rör sig framför den andra. Ett sätt att minska denna risk är att justera väntetiden genom att multiplicera det antal tidsintervall som krävs för en rundtur med ett primtal. (Ungefär som vissa insekter gör för att undvika rovdjur under sina sällsynta parningssäsonger.) Det finns fortfarande en risk att båda väljer samma primtal, men annars kommer de så småningom att träffas. Alternativt kan de variera sin väntetid genom att efter varje rundtur slumpmässigt välja ett nytt primtal och sedan vänta så många intervall innan de påbörjar nästa rundtur.

Den mest framgångsrika strategin måste väl vara att söka sig mot mitten av våningen. Om båda gör det träffas de garanterat efter ett minimalt antal intervall. Förutsatt att det finns ett rum "i mitten". Och det beror på våningens dimensioner. Om både m och n är udda tal finns det ett enda mittersta rum. Att ta sig dit kräver maximalt (m + n) / 2 intervall. Om m är jämnt och n är udda (eller vice versa) finns en mittersta rad (eller kolumn) av två intilliggande rum. Alla strategier, förutom att stanna kvar i det första rum man når, garanterar att man träffas efter högst en ytterligare förflyttning. Men om m och n båda är jämna tal utgörs mitten av en kvadrat med 2 × 2 rum. Och det räcker för att ingen (icke på förhand avtalad) strategi kan garantera att man någonsin möts.

Hur svårt är det egentligen att räkna ut maximal och genomsnittlig tid för att återfinna varandra, beroende på beteende? Är det ens möjligt? Vad kan man göra annars? Simulera! Modellera alla tänkbara scenarier i en dator och testköra ett stort antal gånger.

(Och här kommer förstås en beskrivning av modellering och testkörningsresultat, och en jämförelse mellan dessa och de teoretiska värdena.)

---

(1) Dörrarna är stängda. Och tjocka, och tunga, och stänger sig själva när man har öppnat dem.

(2) Eller tre, eller två, beroende på om man befinner sig vid en yttervägg eller vid ett hörn.

(3) Hur långt är ett tidsintervall? Det vet vi inte, och det spelar ingen roll: Vi är blott intresserade av hur många tidsintervall som krävs för en återförening. (Men låt oss säga att det tar 10 sekunder att röra sig från ett rum till ett annat.)

(4) Uppskattningen baseras på att de båda, i varje intervall, kan befinna sig i vilket som helst av de mn rummen. Sannolikheten för att de båda ska befinna sig i ett visst rum är därför 1 / (mn)2. Men eftersom vilket som helst av rummen är en tänkbar mötesplats är sannolikheten att de båda samtidigt befinner sig i något rum 1 / mn.

(5) Den här uppskattningen är kanske inte helt realistisk, eftersom det rum som en person befinner sig i vid tidpunkt t är beroende av i vilket rum personen befann sig vid tidpunkt t-1. Men om vi antar att placeringarna är oberoende av varandra överskattar vi antalet möjligheter, vilket är att föredra när vi vill beräkna en övre gräns för tidsåtgången.

(6) Åtminstone kan antalet tidsintervall bli godtyckligt stort.

(7) Vilket kanske verkar konstigt. Men tänk dig att du slår två tärningar: Hur stor är sannolikheten att du får ett par? Det spelar ingen roll om du först slår en tärning och därefter den andra; eller om du slår båda  tärningarna samtidigt. Sannolikheten att få ett par är 1/6 (6 * 1 / 62). Om du i stället placerar en av tärningarna med en viss sida upp (vilket motsvarar att en person stannar kvar i samma rum) och bara slår den andra, vad är då sannolikheten att denna andra tärning visar samma sida som den du valt på förhand? Den är fortfarande 1/6.

(8) Det vill säga att Pelle aldrig besöker ett rum två gånger (innan han besökt alla andra rum). Detta är möjligt eftersom Pelle kan utgå från en yttervägg eller ett hörn (och förmågan att skilja mellan höger och vänster). Inga fönster krävs.

(9) Under antagandet att sannolikhetsfördelningen är likformig, vilket i det här fallet innebär att Pelle och Lisa kan befinna sig på vilka platser (avstånd från varandra) som helst, med samma sannolikhet, när de "upptäcker" att de har kommit ifrån varandra.

(10) Beroende på vilket hörn man utgår ifrån börjar man antingen att röra sig uppåt eller nedåt; antingen till vänster eller till höger. Det finns alltså totalt fyra varianter.

(11) Vi utgår alltså ifrån att man först tar sig till ett hörn, och bortser från de förflyttningar som krävs för  att göra detta.

26 jan. 2013

Sex, våld och skräck: Bok-klubben, del 2

Unga kvinnor som revolterar, tar kontroll över sin sexualitet och utövar makt. Var hittar man dem, annat än i hämndlystna flockar av driftsstyrda trollpackor i ohelig allians med uråldrig ondska?

Integrationssvårigheter? Tacka fan för det, när alla vet att flyktingar från Balkan och sydöstra Europa är svartmuskiga tattare, närmast besläktade med vargar. (Om de inte är fascister eller vampyrer.) Att ge dem lägenheter i Rosengård är så naivt att det inte är konstigt att de skrattar åt oss, utklädda i burkor för att dölja sina förvuxna polisonger.

Och hur kommer det sig att alla dessa motbjudande men rika och mäktiga sluskar (och vampyrer) lyckas locka till sig unga vackra kvinnor; och varför stannar kvinnorna kvar och låter sig förnedras? För att de enda kvinnor verkligen vill ha är pengar, och för att de vare sig kan eller vill skaffa dem själva. (Särskilt sydländska kvinnor.)

Ja, det här är några av de sanningar man hittar i Anders Fagers novellsamling Svenska kulter. Invävda i allmänt fantasteri, skräck, våld och "socialrealism". Och sex. I alla möjliga och omöjliga former.

Fast frågar man Anders Fager, skulle han nog säga att det är det som är grejen. Att den verkliga skräcken ligger i upptäckten att du som läsare låter dig förföras av logiken. Det var i alla fall vad han svarade på kritiken att hans noveller är skamlöst spekulativa, i en intervju i SVT:s litteraturprogram Babel härförleden. Likadant med alla de makabra detaljerna. Skräcken uppstår när du kommer på dig själv med att frossa i dem.

Ett teflon-svar. Omöjligt att motbevisa och därför suspekt, även om det skulle vara en korrekt beskrivning av författarens uppsåt. Sedan skadar det ju aldrig att, som en av huvudpersonerna i boken, låta hjärntvättade konstkritiker ge sig själva och andra ett alibi för sina lägsta laster. Att ge "mediemupparna" sysselsättning, och tjäna en hacka på kuppen. Samtidigt som man lämnar möjligheten öppen, även i sitt eget huvud, att man ägnar sig åt stor konst. Transcenderande konst. Tja, vem vet? Det är knepigt, det där med konst. DN:s recensent väljer, för säkerhets skull, att kalla boken en "skrattspegel". Överlag är dagspressen okritisk; i några fall oreserverat hänförd.

Oavsett om det är Fagers egna, oreflekterade stereotyper som lyser igenom, eller om det rör sig om någon form av spekulation - ja, t.o.m. om det är så att hans medvetna lek med läsarens fördomar åstadkommer just vad han avsåg - så finner jag de ovanstående uppslagen både fantasilösa och osmakliga. Häxbränningarna ligger nu något sekel bakom oss; jämställdheten är åtminstone i teorin ett faktum; rasism och främlingsfientlighet ser vi ännu inte i backspegeln. En lång kamp för rationalitet i en orolig värld. Små, små steg i taget. Att leka med gamla, enkla "sanningar" är att ringakta dyrköpta segrar.

Socialrealismen, däremot, verkar Fager ta med en betydligt större nypa salt än de kritiker som slentrianmässigt strör detta epitet omkring sig. (Det var bl.a. detta som gjorde mig nyfiken på honom.) En berättarteknik, den ram av verklighet som omger hans fantasterier. En relief mot vilken de annars löjeväckande monstren kan anta något slags trovärdighet. En metod för att framkalla suspension of disbelief. Gott så. Och ingen dum idé. "Jag går och handlar på ICA, och låtsas att människorna omkring mig visar huggtänderna så fort jag vänder ryggen till". Javisst.

Fager är en handlingskraftig person. En mångsysslare. En rastlös själ. Uppenbarligen intelligent och med den där pragmatiska distansen som utmärker en do:er. Hur svårt kan det vara? Till grund för sina berättelser har han några fyndiga (men inte originella) idéer: Ramverket, den tunna hinnan mellan vår värld och de (den?) andra. Det stegvisa blottandet av sammanhängande mytologier. De osynliga kopplingarna mellan till synes orelaterade fenomen. Det stora i det lilla. Och för varje enskild novell föreskriver han sig själv olika formler för framställningen; olika variationer på den gradvisa uppenbarelsens kittling; på karaktärsteckning och miljöskildring; på detaljnivå och antydningarnas konkretion. Det är smart, men kyligt. Och ibland framstår texten som alltför regelstyrd, tafflig och seg, och karaktärerna alltför ytliga och endimensionella.

Krypande spänning. Ibland lyckas det, ibland inte. Ibland går det för långsamt, ibland för fort. Men oftast leder det mot en antiklimax. Fager provar alla möjligheter: Ibland berättar han för mycket, ibland för lite. Ibland lämnar han tolkningen så öppen att ingen avslutning infinner sig.

Den i mitt tycke bästa novellen är den om Karolinernas dödsmarsch. Den håller betydligt högre kvalitet än de andra; väl avvägd, och med trovärdiga - om än knapphändiga - psykologiska porträtt och miljöer. Här är dramaturgin omvänd: Vi vet redan hur det ska sluta, men inte varför. Återigen, en bra idé. Men berättelsen avslutas liiite för tidigt.