Datorer i matematikundervisningen

Confrad Wolfram: "Teaching kids real math with computers"


Jag pendlar mellan att å ena sidan köpa Wolframs koncept rakt av, och å andra sidan göra liknande invändningar som dem han själv tar upp i sitt föredrag.

Jag tror att Wolfram överskattar många elever och lärare, genom att utgå från sig själv. Jag ser också några luckor i hans resonemang.

Wolfram säger inledningsvis att matematikundervisning har tre huvudsakliga mål:

a) Tekniskt avancerade yrken

b) Medborgarkompetens

c) Rationellt tänkande


Längre fram beskriver han matematik som en process i fyra steg:

1) Ställ rätt frågor

2) Modellera frågorna (matematiskt)

3) Besvara frågorna genom beräkning

4) Återför svaren från modellen till verkligheten


De tre sista stegen använder utgår vi ofta ifrån i dag: Vi talar ofta om modellering, och att röra sig in och ut ur en matematisk modell för att formulera och besvara verkliga problem. Jag antar att en del av Wolframs resonemang går ut på att det för många elever hade varit bättre att fokusera mer på steg 1 än på steg 3. Och det kan jag hålla med om. Inte minst på yrkesprogrammen.

Även tekniker och naturvetare hade mått bra av att arbeta mer med steg 1, men de bör också fokusera på steg 3. Wolfram menar att detta kan göras genom att låta eleverna formulera algoritmer och skapa de program som de sedan använder*. Det är bra tänkt, men alla elever kommer inte att klara av detta inom rimlig tid. Och då får de varken beräkningskompetens eller förståelse. För engagerade elever med gott om tid (!) skulle det nog fungera. Men så är det ju med allting...

När det gäller yrkesprogrammen är faran att mål (c) inte uppfylls. I en tredje grupp har vi samhällsprogrammen (S, H, E). På pappret kan det verka som om även dessa - i likhet med yrkeselever - skulle tjäna på att fokusera på steg 1 i stället för på steg 3. Och delvis är det korrekt. Steg 1 bör prioriteras, mer än i dag. Men att göra detta på bekostnad av steg 3 skulle förvärra den tendens som finns redan idag, nämligen att modeller används som "svarta lådor" som inte alltid förstås och ifrågasätts i tillräcklig omfattning.


---

(*) En elev undrade varför han var tvungen att använda derivatans definition för att besvara en fråga på matteprovet. Varför kunde han inte använda deriveringsreglerna direkt? Jag svarade att de fick han - om han bevisade dem först.

Interludium: Höjda lärarlöner?

DN 12/4: "Höj kraven för att bli lärare"

Jag tycker att lönefrågan är upphausad. Det är engagerade och kunniga lärare vi vill ha - inte strebrar. Folk som i första hand motiveras av lönen är sällan något att ha, i min erfarenhet.

Jag ser hellre en tillfällig brist på nyutexaminerade lärare och en utrensning av undermåliga lärosäten, som en konsekvens av höjda antagningskrav. Det är klart att vi ska ställa höga krav på (potentiella) lärare - precis som på alla andra sökanden till kvalificerade utbildningar; på de examinerade; och inte minst på (personalen på) lärosätena själva.

Vi flyttar bara problemet om vi lockar duktiga studenter till lärarutbildningen men låter andra utbildningar fyllas av dem som skriver sub-1,0 på högskoleprovet. Högre utbildning ska inte fungera som en arbetsmarknadsåtgärd - vare sig för studenter eller för personal! (Och det kvasi-vetenskapliga ämnet pedagogik har en märklig dragningskraft på flummare.)

För övrigt är det inte lärarutbildningar per se som vi ska fokusera på, utan ämnesutbildningar. De bästa lärarna är de som i botten har en ämnesutbildning. (Jag är misstänksam mot lärare som gått direkt till en lärarutbildning efter gymnasiet.) Vägarna till läraryrket bör vara flera, och det är här - om någonstans - som man bör arbeta med (icke-pekuniära) incitament, och vara flexibel.

Kompetenta arbetsgivare (i statlig tjänst) bör få större frihet att anställa dem som verkligen är (potentiellt) goda lärare, snarare än att inkompetenta kommunaltjänstemän regleras att strikt följa uppblåsta och elaborerade formella behörigheter (legitimation) som de ändå inte begriper.

Björklund har fel på flera sätt, och dessutom är han inkonsekvent. En sak som stör mig är hans tro på att inte bara höjda löner utan framför allt större löneskillnader skulle vara verkningsfullt. Det där är ju ren ideologi, utan någon verklighetsförankring. (På samma sätt som det nya betygssystemet på något sätt skulle fungera inte bara för att tydligare sortera elever, utan också - på något magiskt vis - höja allas betyg.)

Men det mest anmärkningsvärda i hela utbildningsdebatten är att ingen vågar röra vid de verkliga problemen. De är, i korthet, att allt färre elever, studenter, föräldrar, lärare och lärarutbildare har det intresse och engagemang; den självkritik, arbetsmoral och ackumulerade kunskap som krävs för att komma långt inom något gebit. Och detta, i sin tur, beror, i korthet, på den omgivande samhällskulturen (tekniken, ideologin, m.m.) Samtidigt "måste" allt fler bli akademiker, av något slag.

Ska vi vända på den här skutan så måste vi börja ställa högre krav. På oss själva och på varandra. På riktigt. (Något säger mig att ev. höjda antagningskrav snart drabbas av inflation, på samma sätt som betygen.)

Korrelation och kausalitet, lite metodologi, källkritik och vetenskapsjournalistik

I tidningen ser du en artikel med rubriken "Överviktiga är sjukare".

Betyder detta att övervikt orsakar dålig hälsa?

Eftersom du är en eftertänksam person läser du artikeln noga, och ställer källkritiska frågor: Vem säger vad till vem; var, när, hur och varför? Låt oss säga att artikeln nyligen publicerades i en större dagstidning och är skriven av en (frilansande) vetenskapsjournalist. Journalisten skriver att en stor nationell studie nu bevisat det vi redan misstänkte: Övervikt orsakar ohälsa.

Artikeln baseras i sin tur på en rapport från en longitudinell studie som genomförts vid ett universitetssjukhus och som i dagarna publicerats i en (känd) vetenskaplig tidskrift. Forskarna som skrivit rapporten är välmeriterade medicinska specialister. I rapportens sammanfattning skriver de att studien med stor säkerhet visar en tydlig negativ korrelation mellan övervikt och hälsa.

Du noterar att studien inbegripit tusentals personer som följts under två decennier, och utan att lusläsa rapporten bedömer du att urval och mätmetoder, m.m., verkar rimliga (intern validitet). De beräkningar och redovisningar av korrelationens styrka och signifikans som redovisas motiverar slutsatsen att studien "med stor säkerhet visar en tydlig negativ korrelation mellan övervikt och hälsa" (reliabilitet). Du bedömer vidare att forskarnas definitioner av "övervikt" och "hälsa" är relevanta (extern validitet), och att resultaten tycks gälla för en stor del av befolkningen (generaliserbarhet).

Du jämför studiens resultat med andra, jämförbara, studier och noterar att resultaten verkar ligga i linje med majoriteten av dessa (replikerbarhet). Samtidigt funderar du lite på om det kan vara så att studier som inte uppvisat liknande resultat helt enkelt sällan publiceras eller omnämns i medierna (publication bias).

Din undersökning ger vid handen att den bakomliggande studien är gedigen och värd att ta på allvar. Du konstaterar att artikeln som ursprungligen fångade ditt intresse var formulerad på ett sätt som inte återspeglade studien på ett korrekt och ansvarsfullt sätt. För det första är artikelns rubrik alltför vag och öppen: den kan tolkas på flera olika sätt, vilka studiens definitioner och resultat inte ger grund för. För det andra har journalisten använt ordet "bevis" på ett tvivelaktigt sätt. Och för det tredje - och viktigast - studien har inte visat att övervikt orsakar ohälsa. Den har inte ens utformats för att undersöka detta.

Du tänker först att sådana här missförstånd, överdrifter och förenklingar, de får man nog räkna med: Dagstidningar måste ju sälja lösnummer och journalister måste ju förtjäna sitt levebröd. Och förresten är det väl inte rimligt att förvänta sig att läsekretsen ska vara insatta i (eller ens intresserade av) vetenskapliga spetsfundigheter?

Fast, å andra sidan, är det verkligen försvarbart att förvanska vetenskapliga studier och resultat? Du - som själv har goda förkunskaper och instinkter, och som har företagit en ganska grundlig efterforskning - kan unna dig ett betrakta det hela med en viss distans. Men alla har kanske inte möjlighet att skapa sig en sådan distans. Vad ska de tro om det de läser i tidningen? Och hur påverkas de? Är det inte precis därför att de flesta människor varken har tid eller kunskaper att ifrågasätta det tidningen skriver som överdrifter och förenklingar är så farliga?

Nu när du har idkat källkritik, tillämpat dina kunskaper om vetenskaplig metodologi, och reflekterat över journalistikens villkor, är det dags att fundera lite djupare på sambandet mellan övervikt och hälsa.

Studien visar alltså inte att övervikt orsakar ohälsa (så som dessa termer har definierats). Den visar däremot en (tydlig, stark, negativ) korrelation mellan dessa. Med andra ord: studien visar inte ett kausalt samband mellan övervikt och hälsa; vad den visar är att övervikt och ohälsa samvarierar.

Låt oss säga att vi mäter BMI* och antalet (självrapporterade) sjukdomssymtom hos ett stort antal personer. Om det visar sig att personer med högt BMI rapporterar ett stort antal symtom, medan personer med lågt BMI rapporterar ett litet antal symtom, kan vi säga att att BMI och ohälsa är korrelerade. På motsvarande sätt: om vi mäter samma personer en tid senare och upptäcker att de personer vars BMI har ökat rapporterar fler symtom än tidigare, och de personer vars BMI har minskat rapporterar färre symtom än tidigare, har vi upptäckt en samvariation mellan BMI och ohälsa.

Vad vi inte har visat är att ett ökat BMI orsakar fler sjukdomssymtom. Det kan vi, strängt taget, aldrig visa med en studie som denna - oavsett hur stark, tydlig och pålitlig samvariationen är.

Ett kausalt samband mellan två företeelser, A och B, innebär att A orsakar B. Detta betyder inte (alltid) att A med nödvändighet medför B, utan att A direkt påverkar (förekomsten av) B. Vi kan t.ex. säga att ett virus orsakar förkylning, trots att exponering för viruset inte nödvändigtvis innebär att man blir förkyld.

En korrelation mellan A och B visar endast att förekomsten av A står i proportion till förekomsten av B (under vissa omständigheter).

Det finns flera tänkbara scenarier där vi observerar en korrelation mellan A och B utan att det föreligger  ett kausalt samband. Det kan vara så att:

• B orsakar A. Det finns alltså ett orsakssamband, men det verkar åt motsatt håll. Denna påverkan kan vara direkt eller indirekt (se nedan). I vårt fall skulle det alltså kunna vara så att sjukdom leder till ett mindre aktivt liv, vilket i sin tur leder till ökad vikt.


• A orsakar C (som orsakar D, som orsakar E...), som i sin tur orsakar B. I sådana här fall är det ofta missvisande att säga att A orsakar B även om företeelserna är förbundna av en orsakskedja. Det skulle t.ex. kunna vara så att ökad vikt leder till sämre självförtroende, vilket leder till isolering, vilket leder till passivitet, vilket i sin tur leder till sämre hälsa. Det är alltså inte övervikt i sig som orsakar ohälsa, utan andra faktorer som (oftare) förekommer i samband med övervikt. Man bör alltså inte förvånas över att ofta träffa på överviktiga personer som är kärnfriska.


• A och C orsakar B. Här är det alltså endast i kombination med en eller flera andra faktorer som A orsakar B. Om C är allmänt förekommande, eller okänd, kan det verka som om A ensamt orsakar B. Ett exempel på detta är magsår: Man trodde länge att magsår orsakades av stress (och dåliga matvanor). Men nyligen upptäckte man att magsår orsakas av en bakterie, som endast i kombination med andra faktorer, bl.a. stress, ger upphov till besvär. 


• C orsakar både A och B. Det här är en vanlig situation. Vi observerar att två faktorer, A och B, samvarierar och det ligger nära till hands att tro att den ena orsakar den andra. I själva verket påverkas båda faktorerna av en eller flera bakomliggande faktorer. Sambandet är alltså illusoriskt (spurious, confounded). För att undvika den här typen av misstag måste vi vara mycket försiktiga och uppmärksamma. Vetenskapen fortskrider ofta genom att successivt klargöra den här typen av samband. Tänk dig t.ex. att du gör ett stort representativt urval av människor i din kommun. Du mäter varje persons skostorlek och låter alla göra ett standardiserat intelligenstest för att mäta IQ. När du sammanställer dina data ser du en stark positiv korrelation mellan skostorlek och IQ. Vad är det frågan om? Kan det verkligen vara så att ökad skostorlek leder till högre intelligens, eller vice versa? Nej, naturligtvis inte. I stället är den avgörande faktorn i det här fallet ålder. Barn får inte lika höga poäng som vuxna på ett IQ-test. Och barn har mindre fötter än vuxna. I båda fallen är det åldern som är avgörande.


• Korrelationen mellan A och B är slumpmässig (tillfällig, situationsberoende). Det finns helt enkelt inget orsakssamband mellan A och B. Den globala medeltemperaturen har stigit under de senaste århundradena, i takt med att antalet pirater har minskat. Det vore emellertid orimligt att dra slutsatsen att pirater kyler ner världshaven (och att koldioxidens påverkan är försumbar).

Studien av övervikt och hälsa är främst utformad för att utesluta tillfälliga samvariationer: Om det är något vi kan säga med säkerhet så är det just att den upptäckta korrelationen verkar mycket robust. Vad har vi då för glädje av denna information? Ja, dels kan det vara så att många andra studier indikerar olika möjliga orsakssamband som tillsammans gör det troligt att övervikt är en av flera bidragande orsaker till ohälsa. Att korrelationen är så stark motiverar att vi prioriterar arbetet med att - bl.a. med riktade experimentella studier - identifiera olika orsaksamband. Det kan också vara motiverat att motverka både övervikt och ohälsa även utan ett klarlagt orsakssamband (eller riktning).

För att visa ett kausalt samband mellan två faktorer, A och B, måste vi utföra experiment där vi successivt utesluter alla ovanstående möjligheter. Så gott vi kan. Om det över huvud taget är (praktiskt, etiskt) möjligt. (Du kommer att få lära dig mer om hur man utför experiment längre fram.)


Titta på det här inslaget från SVT:s Rapport om strålbehandling och hjärtinfarkt (14 mars 2013). Fundera på hur och varför de studier som rapporteras har utförts, vad de visar, och hur olika personer i inslaget tolkar och förhåller sig till dem. Vilka outtalade antaganden och kopplingar görs?

---

Förutom alla de fallgropar och praktiska problem som vi har uppmärksammat här, står vi inför ytterligare ett dilemma när vi diskuterar orsakssamband eller kausalitet. Och det är att själva begreppet, när man tittar närmare på det, inte är så självklart som man kanske kan tro. Faktum är att filosofer och vetenskapare inte är helt överens om vad vi bör lägga in i ordet orsak, eller när vi kan säga oss vara säkra på att ha upptäckt en sådan. Kanske är de orsakssamband vi tycker oss se omkring oss illusioner, vanor, eller en konsekvens av våra hjärnors uppbyggnad?

Som en övning, leta efter tidningsartiklar med rubriker i stil med: "Längre utbildning ger längre liv". Studera vad de säger, och undersök vad de bygger på. Försök att skilja på det du tror (dig veta), det som faktiskt skrivs; vad som verkar rimligt, och vilket stöd som finns för detta.


Läs mer: cum hoc non propter hoc.


---

(*) Body Mass Index

You're not stupid, stupid!

In the 1970's, psychologists Harold Stevenson and James Stigler became interested in the math gap in performance between Asian and American schoolchildren: By the fifth grade, the lowest-scoring Japanese classroom was outperforming the highest-scoring American classroom. To find out why, Stevenson and Stigler spent the next decade comparing elementary classrooms in the U.S., China, and Japan. Their epiphany occurred as they watched a Japanese boy struggle with the assignment of drawing cubes in three dimensions on the blackboard. The boy kept at it for forty minutes, making repeated mistakes, as Stevenson and Stigler became increasingly anxious and embarrassed for him. Yet the boy himself was utterly unselfconscious, and the American observers wondered why they felt worse than he did. "Our culture exacts a great cost psychologically for making a mistake," Stigler recalled, "whereas in Japan, it doesn't seem to be that way. In Japan, mistakes, error, confusion [are] all just a natural part of the learning process." (The boy eventually mastered the problem, to the cheers of his classmates.) The researchers also found that American parents, teachers, and children were far more likely than their Japanese and Chinese counterparts to believe that mathematical ability is innate; if you have it, you don't have to work hard, and if you don't have it, there's no point in trying. In contrast, most Asians regard math success, like achievement in any other domain, as a matter of persistence and plain hard work. Of course you will make mistakes as you go along; that's how you learn and improve. It doesn't mean you are stupid. 

Making mistakes is central to the education of budding scientists and artists of all kinds, who must have the freedom to experiment, try this idea, flop, try another idea, take a risk, be willing to get the wrong answer. One classic example, once taught to American schoolchildren and still on many inspirational Web sites in various versions, is Thomas Edison's reply to his assistant (or to a reporter), who was lamenting Edison's ten thousand experimental failures in his effort to create the first incandescent light bulb. "I have not failed," he told the assistant (or reporter). "I successfully discovered 10,000 elements that don't work." Most American children, however, are denied the freedom to noodle around, experiment, and be wrong in ten ways, let alone ten thousand. The focus on constant testing, which grew out of the reasonable desire to measure and standardize children's accomplishments, has intensified their fear of failure. It is certainly important for children to learn to succeed; but it is just as important for them to learn not to fear failure. When children or adults fear failure, they fear risk. They can't afford to be wrong. 

There is another powerful reason that American children fear being wrong: They worry that making mistakes reflects on their inherent abilities. In twenty years of research with American schoolchildren, psychologist Carol Dweck has pinpointed one of the major reasons for the cultural differences that Stevenson and Stigler observed. In her experiments, some children are praised for their efforts in mastering a new challenge. Others are praised for their intelligence and ability, the kind of things many parents say when their children do well: "You're a natural math whiz, Johnny." Yet these simple messages to children have profoundly different consequences. Children who, like their Asian counterparts, are praised for their efforts, even when they don't "get it" at first, eventually perform better and like what they are learning more than children praised for their natural abilities. They are also more likely to regard mistakes and criticism as useful information that will help them improve. In contrast, children praised for their natural abilities learn to care more about how competent they look to others than about what they are actually learning. They become defensive about not doing well or about making mistakes, and this sets them up for a self-defeating cycle: If they don't do well, then to resolve the ensuing dissonance ("I'm smart and yet I screwed up"), they simply loose interest in what they are learning or studying ("I could do it if I wanted to, but I don't want to"). When these kids grow up, they will be the kind of adults who are afraid of making mistakes or taking responsibility for them, because that would be evidence that they are not naturally smart after all. 

Dweck has found that these different approaches toward learning and the meaning of mistakes - are they evidence that you are stupid or evidence that you can improve? - are not ingrained personality traits. They are attitudes, and, as such, they can change. Dweck has been changing her students' attitudes toward learning and error for years, and her intervention is surprisingly simple: She teaches elementary-school children and college students alike that intelligence is not a fixed, inborn trait, like eye color, but rather a skill, like bike riding, that can be honed by hard work. This lesson is often stunning to American kids who have been hearing for years that intelligence is innate. When they accept Dweck's message, Their motivation increases, they get better grades, they enjoy their studies more, and they don't beat themselves up when they have setbacks. 

The moral of our story is easy to say, and difficult to execute. When you screw up, try saying this: "I made a mistake. I need to understand what went wrong. I don't want to make the same mistake again." Dweck's research is heartening because it suggests that at all ages, people can learn to see mistakes not as terrible personal failings to be denied or justified, but as inevitable aspects of life that help us grow, and grow up.

Tavris & Aronson (2007), Mistakes Were Made, pp. 232-235

Entreprenörer

"Entreprenörer": En demografisk pyramid

Alla skriker efter entreprenörer nuförtiden. Sverige och Europa behöver dem. Skola och högre utbildning ska dana dem. Samhället ska främja dem.

Bakåtsträvare, som jag, hävdar att de entreprenörer vi verkligen behöver är dem vi frambringar om vi agerar i rak motsättning till vad entreprenörsivrarna påbjuder. För vad är en entreprenör, egentligen? Någon som genom kunskap, uppfinningsrikedom, syntes eller nydanande tillämpningar bidrar med något positivt för alla och envar; något vars nytta vida överstiger dess negativa bieffekter.

När konsultfirmor, nyliberala tankesmedjor och allianspolitiker* ropar efter "entreprenörer" är det inte nyttiga entreprenörer i denna bemärkelse de söker, utan nyttiga idioter.

För cyniker på högerkanten utgörs "entreprenörer" till övervägande del av kanonmat: Individer som luras att frånsäga sig samhälleligt stöd mot att fritt få eftersträva sin egen framgång - och misslyckas.

Den andel entreprenörer som lyckas såtillvida att deras verksamhet kan integreras i den nationella ekonomin gör kortsiktig "nytta" enligt rådande kalkyler: de bidrar till omsättningen och därmed till BNP, men de negativa bieffekterna (de s.k. externaliteterna) överstiger ofta med råge den faktiska, långsiktiga nyttan - om man räknar dem alla.

Så har vi de entreprenörer vars exporterade produkter och tjänster bidrar till en positiv handelsbalans. Deras nytta för nationen måste avräknas mot externaliteter både inom och utom landet, och gör man verkligen det är den långsiktiga nyttan i många fall tveksam.

Kvarstår de individer som frambringar genuina - inte ekonomistiska - nyttigheter, och som dessutom kontrollerar för eventuella negativa bieffekter på lång sikt. Sådana människor kallas sällan för entreprenörer, och kanske är det bäst så.

Pathbreaking creativity requires many years of acquiring a deep knowledge base from which you can draw to make novel connections

Scott Barry Kaufman

Med ett snävt fokus på att enbart se till vår egen nations ekonomiska bästa och på andra länder som konkurrenter att tävla emot, så finns risken att vi prioriterar fel forskning.

Olle Häggström

---

(*) Även socialdemokrater och miljöpartister stämmer in i kören med lätt falska toner.

Vet du att jag vet att du vet?

Anna, Britta och Cecilia är ute och går, då de måste kasta sig in på ett kafé för att undvika ett plötsligt oväder. Cecilia noterar att Anna och Britta är smutsiga i pannan, och att ingen av dem är medvetna om det. Cecilia är alltför finkänslig för att nämna denna pinsamma situation, vilket garanterat skulle få hennes vänner att rodna. Men hon observerar att hennes båda vänner, liksom hon själv, vet att någon är smutsig och att även de är alltför finkänsliga för att nämna det. Det slår Cecilia att även hon skulle kunna vara smutsig, men det finns inga speglar eller dylikt som kan klargöra vilket som är fallet.

Servitören passerar deras bord och säger: "Jag ser en smutsig panna!" Efter en stunds obekväm tystnad inser Cecilia att hon är smutsig i pannan, och rodnar. Hur gör servitörens uttalande det här möjligt?

Var och en av vännerna vet redan att att åtminstone en av dem är smutsig, så detta är ingen nyhet. Och var och en av vännerna kan se att hennes vänner ser minst en smutsig panna. Så alla vet redan att var och en visste vad servitören sa innan han berättade det. Men servitörens uttalande informerar också var och en av vännerna om att de alla vet att de alla vet (!) att någon av dem är smutsig. Detta är något som ingen av dem visste innan servitörens uttalande gjordes.

Exempelvis vet både Anna och Britta att de själva kan vara rena. Så Anna vet att Britta skulle kunna tro att Cecilia ser två rena pannor. Och om så är fallet vet Anna och Britta att Cecilia skulle kunna vara ovetande om att det finns minst en smutsig panna. Efter servitörens uttalande , och under förutsättning att vännerna är logiska, är Cecilias insikt oundviklig.

För att förstå varför, anta att Cecilia inte är smutsig i pannan. Då vet Cecilia att Anna ser en smutsig panna (Brittas), så Anna har inte fått någon ny information av servitören. Men Cecilia vet att Britta ser att Cecilias panna är ren, så om om Britta är ren skulle Anna se två rena pannor, och servitörens uttalande skulle då ha inneburit att Anna visste att hon var smutsig. Eftersom Anna inte rodnade vet Cecilia att Britta då skulle ha slutit sig till att hon var smutsig, och rodnat. Men eftersom Britta inte gjorde det, vet Cecilia att hennes antagande att hon själv är ren måste vara felaktigt.

The Tactful Ladies, som den återges i Gintis (2009), The Bounds of Reason, s. 153-

Slottet, slumpen, sannolikheten och strategierna

Pelle och Lisa besöker Versailles. Endast bottenvåningen är tillgänglig för besökare (det går inte att förflytta sig uppåt).Våningen utgörs av m × n kvadratiska rum, med dörrar emellan.⁽¹⁾ Från varje rum kan man ta sig till fyra angränsande rum.⁽²⁾ Låt oss också säga att det finns fönster i alla rum med ytterväggar, och i hörnrum, så att man där (men bara där) kan orientera sig efter solen.

Pelle och Lisa kommer ifrån varandra. De måste nu leta upp varandra igen. Hur lång tid kan det tänkas ta? I värsta fall? I bästa fall? I genomsnitt? Beroende på vilken strategi de eventuellt har kommit överens om på förhand? Eller beroende på de strategier som var och en funderar ut först när situationen uppstår?

Vi antar att de båda i varje tidsintervall förflyttar sig från ett rum till något av de angränsande rummen. Självklart kan de också välja att stanna i det rum där de för närvarande befinner sig, under ett eller flera tidsintervall.⁽³⁾

Om de båda irrar omkring planlöst i slottet kan sannolikheten för att de ska återfinna varandra i ett visst tidsintervall uppskattas till 1 / mn.⁽⁴⁾⁽⁵⁾ I genomsnitt krävs det alltså omkring mn intervall. I bästa fall träffas de redan efter ett enda intervall. I värsta fall träffas de aldrig.⁽⁶⁾

Om Lisa stannar kvar på samma ställe och Pelle irrar runt planlöst, eller vice versa, gäller samma resonemang som ovan.⁽⁷⁾

Om Lisa stannar kvar på samma ställe och Pelle systematiskt söker igenom våningen⁽⁸⁾ krävs max mn - 1 förflyttningar. I genomsnitt krävs då mn / 2 intervall.⁽⁹⁾  Men om båda stannar kvar på samma ställe, träffas de aldrig igen.

Det naturligaste sättet att söka igenom våningen systematiskt är att förflytta sig uppåt n rum; sedan till vänster; därefter nedåt n rum, och sedan till höger, o.s.v., m gånger. Eller, på motsvarande sätt, att förflytta sig till höger m rum; sedan uppåt; därefter till vänster m rum; och sedan nedåt, o.s.v., n gånger.^(10)(11) Låt oss kalla dessa båda strategier vertikal respektive horisontell avsökning.

Om både Pelle och Lisa söker i samma ledd (horisontellt eller vertikalt), och åt samma håll, träffas de i värsta fall aldrig. (Men kanske ibland, och ganska snart, beroende på var de börjar, och eventuellt beroende på våningens dimensioner, m och n... Här är jag osäker.) Om de båda söker i samma ledd men åt olika håll krävs som mest mn / 2 tidsintervall. (Tror jag, men se ovan.)

Om de söker i olika ledd men åt samma håll; eller i olika ledd och åt olika håll - hur blir det då?

Om Pelle och Lisa inte har kommit överens om en strategi på förhand, hur bör de då agera? Det systematiska sökandets framgång är ju avhängig av vilka val de båda gör, och om valen inte är koordinerade på förhand är den därför avhängig slumpen.

Ett förslag är att var och en förflyttar sig till ett hörn, och alternerar mellan att vänta där (så många tidsintervall som det tar för den andra personen att ta sig ett varv runt ytterkanterna) och att själv ta ett varv runt kanterna. Men inte heller denna strategi eliminerar risken för att rundturerna är synkroniserade så att den ena hela tiden rör sig framför den andra. Ett sätt att minska denna risk är att justera väntetiden genom att multiplicera det antal tidsintervall som krävs för en rundtur med ett primtal. (Ungefär som vissa insekter gör för att undvika rovdjur under sina sällsynta parningssäsonger.) Det finns fortfarande en risk att båda väljer samma primtal, men annars kommer de så småningom att träffas. Alternativt kan de variera sin väntetid genom att efter varje rundtur slumpmässigt välja ett nytt primtal och sedan vänta så många intervall innan de påbörjar nästa rundtur.

Den mest framgångsrika strategin måste väl vara att söka sig mot mitten av våningen. Om båda gör det träffas de garanterat efter ett minimalt antal intervall. Förutsatt att det finns ett rum "i mitten". Och det beror på våningens dimensioner. Om både m och n är udda tal finns det ett enda mittersta rum. Att ta sig dit kräver maximalt (m + n) / 2 intervall. Om m är jämnt och n är udda (eller vice versa) finns en mittersta rad (eller kolumn) av två intilliggande rum. Alla strategier, förutom att stanna kvar i det första rum man når, garanterar att man träffas efter högst en ytterligare förflyttning. Men om m och n båda är jämna tal utgörs mitten av en kvadrat med 2 × 2 rum. Och det räcker för att ingen (icke på förhand avtalad) strategi kan garantera att man någonsin möts.

Hur svårt är det egentligen att räkna ut maximal och genomsnittlig tid för att återfinna varandra, beroende på beteende? Är det ens möjligt? Vad kan man göra annars? Simulera! Modellera alla tänkbara scenarier i en dator och testköra ett stort antal gånger.

(Och här kommer förstås en beskrivning av modellering och testkörningsresultat, och en jämförelse mellan dessa och de teoretiska värdena.)

---

⁽¹⁾ Dörrarna är stängda. Och tjocka, och tunga, och stänger sig själva när man har öppnat dem.

⁽²⁾ Eller tre, eller två, beroende på om man befinner sig vid en yttervägg eller vid ett hörn.

⁽³⁾ Hur långt är ett tidsintervall? Det vet vi inte, och det spelar ingen roll: Vi är blott intresserade av hur många tidsintervall som krävs för en återförening. (Men låt oss säga att det tar 10 sekunder att röra sig från ett rum till ett annat.)

⁽⁴⁾ Uppskattningen baseras på att de båda, i varje intervall, kan befinna sig i vilket som helst av de mn rummen. Sannolikheten för att de båda ska befinna sig i ett visst rum är därför 1 / (mn)². Men eftersom vilket som helst av rummen är en tänkbar mötesplats är sannolikheten att de båda samtidigt befinner sig i något rum 1 / mn.

⁽⁵⁾ Den här uppskattningen är kanske inte helt realistisk, eftersom det rum som en person befinner sig i vid tidpunkt t är beroende av i vilket rum personen befann sig vid tidpunkt t-1. Men om vi antar att placeringarna är oberoende av varandra överskattar vi antalet möjligheter, vilket är att föredra när vi vill beräkna en övre gräns för tidsåtgången.

⁽⁶⁾ Åtminstone kan antalet tidsintervall bli godtyckligt stort.

⁽⁷⁾ Vilket kanske verkar konstigt. Men tänk dig att du slår två tärningar: Hur stor är sannolikheten att du får ett par? Det spelar ingen roll om du först slår en tärning och därefter den andra; eller om du slår båda  tärningarna samtidigt. Sannolikheten att få ett par är 1/6 (6 * 1 / 6²). Om du i stället placerar en av tärningarna med en viss sida upp (vilket motsvarar att en person stannar kvar i samma rum) och bara slår den andra, vad är då sannolikheten att denna andra tärning visar samma sida som den du valt på förhand? Den är fortfarande 1/6.

⁽⁸⁾ Det vill säga att Pelle aldrig besöker ett rum två gånger (innan han besökt alla andra rum). Detta är möjligt eftersom Pelle kan utgå från en yttervägg eller ett hörn (och förmågan att skilja mellan höger och vänster). Inga fönster krävs.

⁽⁹⁾ Under antagandet att sannolikhetsfördelningen är likformig, vilket i det här fallet innebär att Pelle och Lisa kan befinna sig på vilka platser (avstånd från varandra) som helst, med samma sannolikhet, när de "upptäcker" att de har kommit ifrån varandra.

⁽¹⁰⁾ Beroende på vilket hörn man utgår ifrån börjar man antingen att röra sig uppåt eller nedåt; antingen till vänster eller till höger. Det finns alltså totalt fyra varianter.

⁽¹¹⁾ Vi utgår alltså ifrån att man först tar sig till ett hörn, och bortser från de förflyttningar som krävs för  att göra detta.

Sex, våld och skräck: Bok-klubben, del 2

Unga kvinnor som revolterar, tar kontroll över sin sexualitet och utövar makt. Var hittar man dem, annat än i hämndlystna flockar av driftsstyrda trollpackor i ohelig allians med uråldrig ondska?

Integrationssvårigheter? Tacka fan för det, när alla vet att flyktingar från Balkan och sydöstra Europa är svartmuskiga tattare, närmast besläktade med vargar. (Om de inte är fascister eller vampyrer.) Att ge dem lägenheter i Rosengård är så naivt att det inte är konstigt att de skrattar åt oss, utklädda i burkor för att dölja sina förvuxna polisonger.

Och hur kommer det sig att alla dessa motbjudande men rika och mäktiga sluskar (och vampyrer) lyckas locka till sig unga vackra kvinnor; och varför stannar kvinnorna kvar och låter sig förnedras? För att de enda kvinnor verkligen vill ha är pengar, och för att de vare sig kan eller vill skaffa dem själva. (Särskilt sydländska kvinnor.)

Ja, det här är några av de sanningar man hittar i Anders Fagers novellsamling Svenska kulter. Invävda i allmänt fantasteri, skräck, våld och "socialrealism". Och sex. I alla möjliga och omöjliga former.

Fast frågar man Anders Fager, skulle han nog säga att det är det som är grejen. Att den verkliga skräcken ligger i upptäckten att du som läsare låter dig förföras av logiken. Det var i alla fall vad han svarade på kritiken att hans noveller är skamlöst spekulativa, i en intervju i SVT:s litteraturprogram Babel härförleden. Likadant med alla de makabra detaljerna. Skräcken uppstår när du kommer på dig själv med att frossa i dem.

Ett teflon-svar. Omöjligt att motbevisa och därför suspekt, även om det skulle vara en korrekt beskrivning av författarens uppsåt. Sedan skadar det ju aldrig att, som en av huvudpersonerna i boken, låta hjärntvättade konstkritiker ge sig själva och andra ett alibi för sina lägsta laster. Att ge "mediemupparna" sysselsättning, och tjäna en hacka på kuppen. Samtidigt som man lämnar möjligheten öppen, även i sitt eget huvud, att man ägnar sig åt stor konst. Transcenderande konst. Tja, vem vet? Det är knepigt, det där med konst. DN:s recensent väljer, för säkerhets skull, att kalla boken en "skrattspegel". Överlag är dagspressen okritisk; i några fall oreserverat hänförd.

Oavsett om det är Fagers egna, oreflekterade stereotyper som lyser igenom, eller om det rör sig om någon form av spekulation - ja, t.o.m. om det är så att hans medvetna lek med läsarens fördomar åstadkommer just vad han avsåg - så finner jag de ovanstående uppslagen både fantasilösa och osmakliga. Häxbränningarna ligger nu något sekel bakom oss; jämställdheten är åtminstone i teorin ett faktum; rasism och främlingsfientlighet ser vi ännu inte i backspegeln. En lång kamp för rationalitet i en orolig värld. Små, små steg i taget. Att leka med gamla, enkla "sanningar" är att ringakta dyrköpta segrar.

Socialrealismen, däremot, verkar Fager ta med en betydligt större nypa salt än de kritiker som slentrianmässigt strör detta epitet omkring sig. (Det var bl.a. detta som gjorde mig nyfiken på honom.) En berättarteknik, den ram av verklighet som omger hans fantasterier. En relief mot vilken de annars löjeväckande monstren kan anta något slags trovärdighet. En metod för att framkalla suspension of disbelief. Gott så. Och ingen dum idé. "Jag går och handlar på ICA, och låtsas att människorna omkring mig visar huggtänderna så fort jag vänder ryggen till". Javisst.

Fager är en handlingskraftig person. En mångsysslare. En rastlös själ. Uppenbarligen intelligent och med den där pragmatiska distansen som utmärker en do:er. Hur svårt kan det vara? Till grund för sina berättelser har han några fyndiga (men inte originella) idéer: Ramverket, den tunna hinnan mellan vår värld och de (den?) andra. Det stegvisa blottandet av sammanhängande mytologier. De osynliga kopplingarna mellan till synes orelaterade fenomen. Det stora i det lilla. Och för varje enskild novell föreskriver han sig själv olika formler för framställningen; olika variationer på den gradvisa uppenbarelsens kittling; på karaktärsteckning och miljöskildring; på detaljnivå och antydningarnas konkretion. Det är smart, men kyligt. Och ibland framstår texten som alltför regelstyrd, tafflig och seg, och karaktärerna alltför ytliga och endimensionella.

Krypande spänning. Ibland lyckas det, ibland inte. Ibland går det för långsamt, ibland för fort. Men oftast leder det mot en antiklimax. Fager provar alla möjligheter: Ibland berättar han för mycket, ibland för lite. Ibland lämnar han tolkningen så öppen att ingen avslutning infinner sig.

Den i mitt tycke bästa novellen är den om Karolinernas dödsmarsch. Den håller betydligt högre kvalitet än de andra; väl avvägd, och med trovärdiga - om än knapphändiga - psykologiska porträtt och miljöer. Här är dramaturgin omvänd: Vi vet redan hur det ska sluta, men inte varför. Återigen, en bra idé. Men berättelsen avslutas liiite för tidigt.

Genus och reklam

Genusfotografen gör upp en lista över 40 bränder och ljusglimtar.

Jag är sympatiskt inställd till initiativet (i sin helhet), och jag tycker att mycket av det genusfotografen skriver (och har skrivit) är kärnfullt. Några reservationer, dock:

Mina intuitioner överensstämmer inte helt med de exempel som tas upp (t.ex. #13 och #29, m.fl. ) Det kan bero på att jag inte är tillräckligt sensitiv, eller på tillfälligheter, eller på lokala kulturskillnader, eller något annat. Men i de ovanstående fallen kan jag mycket väl tänka mig omkastade roller på bilderna. (Jag kanske bara är en ”bonne”.) Men nu är det inte mina, eller någon annans, personliga intuitioner som är det viktigaste här, utan...

Det finns en uppenbar risk i den här typen av ”bevisföring” att ständigt söka efter bekräftelse på det man letar efter*. Det är ju en mycket typisk egenskap hos oss människor, och den yttrar sig på många olika sätt. (Jag har pysslat en del med kognitions-psykologi, som är ett av många områden där sådana effekter studeras.) Sådana effekter kan bli självförstärkande, men också förstärkas av andra orsaker (inte minst socialpsykologiska), och i värsta fall leder de till lynch-stämning, spökjakt och häxbränning. Nu verkar genusfotografen vara en sansad person… Men saker spårar lätt ur – inte minst på nätet – med ”viskningslekar” och ”pissrännor”. Så även med respekt för fotografens integritet och syfte, skadar det aldrig med en uppmaning till självkritik och försiktighet: Fråga dig, för vare bild, ”hade jag reagerat om rollerna varit ombytta?” Jag hade själv inte reagerat (tror jag) på en manlig jägare som fotograferats sittande på en sten (och inte ”mitt i mossan”… se där, en emotionell och inte helt objektiv glidning).

Vad den här ”topplistan" egentligen handlar om – mer än genus – är reklam. Jag letar i texterna, utan resultat, efter någon antydan till medvetenhet om att en stor del av genusfrågan är inbäddad i, och beroende av (!) förekomsten och villkoren för reklam i samhället över huvud taget. Som jag ser det, är därför kritiken delvis missriktad och saknar spets. Men, vad värre är, den kan faktisk också bli kontraproduktiv! Av två skäl: Dels det jag redogör för ovan, nämligen den splittring som den lätt ger upphov till inom en stor och ”välmenande” skara systemkritiska människor; dels – och viktigast – för att denna splittring och ett bristande fokus på bakomliggande faktorer vidmakthålls, förutses och ignoreras av dem i vars intresse det ligger att upprätthålla systemet.

I klartext: Så länge folk bråkar om definitionen av ”feminism”, eller ”genus”, eller om vilka bilder som eventuellt bör kallas kränkande, stereotypa o.s.v., och huruvida de eventuellt kan fällas för detta, etc., etc. – ja, så länge kan de fria marknadskrafterna fortsätta att kortsluta samhällelig moral och samling. Är det inte kränkande – nej, META-kränkande – att uppenbart sexistiska reklambilder fortfarande förekommer i Sverige? Trots en lång debatt, där åtminstone vissa exempel (i listan) är så övertydligt fräcka att de rimligen inte borde fungera. Men reklammakarna vet att det inte spelar någon roll! Så länge kritikerna tjafsar inbördes, och inte ser det stora problemet, så länge kan reklammakarna fortsätta att utnyttja psykologiska / kulturella reflexer i sin marknadsföring. Det funkar! Det funkar så väl att man lätt kan bortse från kritik, och från att man framstår som moraliskt defekt. Och det är det som är det verkligt kränkande!

Personligen drar jag det här resonemanget längre; från reklam till marknadsekonomi till (ny)liberalism till friheter och rättigheter som löpt amok, och som genererar (designade!) konflikter och förhindrar människor från att samlas runt gemensamma värderingar och strukturer. Det är ett ständigt utnyttjande av våra själviska sidor, som det är så svårt att stå emot, särskilt när man upplever att man drunknar i ett hav av individuella (och inkompatibla) viljor. Allmänningarnas dilemma, i ytterligare en version.

---

(*) En indikation på fenomenet confirmation bias i texterna ovan är tolkningarna av kvinnornas ögon / blick: När de inte tittar in i kameran så är det ”fel”, och när de tittar in i kameran så är det ”fel”. (Jag tror att fotografen skulle kunna utveckla sina resonemang så att den mesta inkonsekvensen försvinner, men ändå… det är en tendens, och man blir lätt ”hemmablind”.)

Tack till Per Störby för tipset!

Den här texten förekommer också som en kommentar på den sida som länkas ovan.

Aristokratin och tingens ordning

Den globala eliten är vår tids särbehandlade aristokrater, skriver Katrine Kielos idag i Aftonbladet.

Jag har behandlat ämnet förr, t.ex. i en liten pastisch på s.k. high fantasy under rubriken De outhärdliga nyrika. Men av en tillfällighet dyker Kielos artikel upp dagen efter det att jag (återigen) sett sista delen av Peter Jacksons filmatisering av Tolkiens Sagan om Ringen. Därav följande reflektion.

Jag stör mig något enormt på (vissa aspekter) av Sagan om ringen*, och framför allt på Frodo: en oduglig aristokrat som trots tjänaren Sams hjälp till slut misslyckas med sitt uppdrag. Och då är Frodo ändå relativt saktmodig, jämfört med övriga kandidater till jobbet.

Det hade varit betydligt enklare att helt enkelt ge Sam ringen från början. Han har både kraft och vett att förstöra den utan krångel. För att motivera allt detta krångel låter Tolkien Frodos orealistiska och konraproduktiva medlidande med den schizofrene Gollum till slut "löna" sig genom den försyn som låter Frodos och Gollums respektive svagheter samverka till ett gynnsamt utfall (ringens förstörelse).

Det är en variant på den förborgade visdom som aristokratin sägs bära på - utan att själv behöva (eller ens kunna) artikulera den. Men för säkerhets skull opererar Tolkien också med en mängd dei ex machina, i lager på lager, för att backa upp tingens ordning. Jag är tveksam till om det ens går att få ihop en konsekvent allegori av alltihop. (Men jag är övertygad om att många har försökt.)

---

(*) Liksom jag stör mig på Tolkiens och C. S. Lewis, m.fl., reaktionära, inkrökta och patetiska program.