Dagens ord


The individual was not the prime mover of history, but its result

5 apr 2014

Kvacksalveri

Företrädare för Vetenskap och Folkbildning skriver i dag, 5 april 2014, på SVT Debatt:

Myndigheterna måste ta kvacksalveriet på allvar

Ingressen lyder:

ALTERNATIVMEDICIN En alternativmedicinsk behandling kan verka både naturligare och sundare än mediciner och behandlingar inom den vanliga vården. Men skenet bedrar. Livshotande sjukdomstillstånd behandlas med verkningslösa metoder.


Jag delade artikeln på Facebook, och bad mina vänner om hjälp att hitta pedagogiska exempel på argumentationsfelet "Appeal to Nature", med koppling till just alternativmedicin. Detta genererade bl.a. följande replikskifte.



NN: placebo effekt?


Jag: Nja, jag tänker mig något i stil med:

"Anna tycker att vi bör undvika konstgjorda mediciner. Hon säger att de belastar levern på ett onaturligt sätt. I stället ska vi använda läkemedel som endast är framställda av naturliga örter. För varje sjukdom i naturen går det att hitta ett naturligt förekommande botemedel, säger Anna."


NN: Är det så att ni använder materialet i N+ kurser pga det inte kan bevisas naturvetenskapligt att de fungerar?



Jag: Först och främst är det sättet att argumentera som är intressant. Att något är 'naturligt' innebär inte med nödvändighet att det därmed är 'bra' eller 'nyttigt' etc. (Ett övertydligt exempel är giftiga växter.)

Man kan också diskutera vad som egentligen menas med 'naturligt'. Är bröd naturligt? Det växer ju inga bullar på träden.

Sådana diskussioner leder vidare till Humes generella distinktion mellan 'är' och 'bör': Att rasism troligen alltid har förekommit i någon mening under människans historia - och dessutom kan betraktas som 'naturlig' och t.o.m. evolutionärt framgångsrik i vissa avseenden - är inget godtagbart skäl till att acceptera eller uppmuntra rasism i dag.

När det gäller kemiska produkter (t.ex. läkemedel) kan det ibland finnas skäl att föredra det mer 'naturliga' framför det mindre 'naturliga'. För att detta ska vara aktuellt så måste de båda alternativen ge samma effekt, medan det mindre 'naturliga' medlet har fler (allvarligare) biverkningar.

I ovanstående exempel är det mycket viktigt att inse att det inte är läkemedlens 'naturlighet' i sig som påverkar deras respektive effekter och biverkningar. (Rollerna kan vara ombytta: det konstgjorda läkemedlet kan ha - och har alltsom oftast - större gynnsam effekt och mindre biverkningar än eventuella 'naturliga' alternativ.)

Slutligen: I diskussioner om alternativmedicin (liksom i diskussioner om t.ex. klimatförändringar) hör man ofta argument av typen "Att effekten inte kan bevisas vetenskapligt innebär inte att den inte existerar" och liknande, och vice versa. (Du verkar själv argumentera så ovan.) Det här tyder på ett missförstånd, alternativt en olycklig förståelse för vad orden "effekt" och "bevisa" rimligen innebär.

Vetenskaplig (experimentell) undersökning av ett (möjligt) läkemedels effekter (och biverkningar) ger den enda form av kunskap som är värd att ha ur samhällelig synpunkt, men även för den enskilda individen. Om kontrollerade experiment inte uppvisar någon signifikant effekt så finns det inte någon sådan. Detta oavsett suggestiva anekdoter, placebo-effekter, personlig övertygelse o.s.v.

---

Diskussionen fortsatte senare:


NN: Bra ren naturvetenskapligt perspektiv. Jag skulle bara säga att en individs uppfattning är sanning till den personen. "Objektiv" vetenskap som bortse ifrån individens upplevelse är begränsad i sitt sätt att komma till "fakta". Sedan kan man argumentera om hur ordet "fakta" bör definieras. Men jag tror vi har haft den diskussionen om objektivitet och subjektivitet förr


Jag: Jag skulle säga att vad en individ "uppfattar" som sant är samma sak som vad individen "tror" är sant, eller "håller för" sant. Men om ord som "sanning" och "verklighet" ska ha någon vettig innebörd så måste de vara definierade i termer som är gemensamma, generella och som överensstämmer (i största möjliga mån) med den objektiva verklighet vi alla delar.

Placebo-effekten är ett specialfall. Den innebär att individens subjektiva uppfattning påverkar individens objektiva status. Det är fascinerande, och i högsta grad ett verkligt fenomen (vilket endast kan visas med vetenskapliga studier). Men det går inte att dra några paralleller mellan detta fenomen och kunskapens status i allmänhet.

Till den relativa objektivismens försvar

22 feb 2014

Frihet och libertarianism; gemenskap och incitament

Två utdrag ur Magnus Agnafors inledning till G. A. Cohens "Varför inte socialism?", återutgiven av förlaget Daidalos, 2013.

... proletären hålls inte i fysiska bojor eller är utsatt för explicita hot, så hur kan ett kapitalistiskt system som till synes främjar och garanterar individens frihet vara ett exploaterande system? Cohen svarar att arbetaren visserligen är fri att göra en klassresa och själv bli kapitalist, men att arbetarklassen som kollektiv inte åtnjuter samma möjligheter. Om en arbetare frigör sig från proletariatets bördor, så bidrar dennes resa till att sluta öppningen för de andra arbetarna då kapitalistklassen är beroende, både i praktiken och begreppsligt, av arbetarklassens existens. 
... är inte kapitalismen det system som bäst främjar och skyddar vår frihet; låt vara att systemet har begränsningar? Cohen argumenterar för att det i själva verket är tvärtom: kapitalismen och den fria marknaden leder till mindre frihet totalt sett, eftersom varje frihet som kapitalismen säger sig skydda genom sitt insisterande på privat äganderätt samtidigt innebär någon annans ofrihet. Privat äganderätt bygger på någon annans icke-äganderätt och all icke-äganderätt innebär en ofrihet.
(s. 14)


Gemenskapsprincipen är nu inte bara en del i Cohens bild av ett socialistiskt - och idealiskt - samhälle; den har även direkt bäring på incitaments-argumentets giltighet [...] Den innebär att explicit rättvisa inte bara är en fråga för grundläggande samhällsinstitutioner, vilket Rawls hävdade, utan också utsträcks till att vara normerande för förehavanden mellan individer. På basis av nämnda princip kan den som handlar på ett sätt som inte är rättvist eller främjar samhällets väl och ve också ställas till svars för sitt handlande. 
Att realisera det rättvisa och goda samhället åligger således inte bara politiker och samhälleliga institutioner, utan även den enskilda medborgaren. När så den talangfulla medborgaren begär en högre lön och privilegier för att prestera på den högre nivå som hennes talang möjliggör, så kan vi helt legitimt ställa vederbörande frågan varför vi bör ge henne en extra tilldelning av samhällets nyttigheter. På en sådan fråga finns två uppenbara svar: att vederbörande måste ha högre lön för att kunna prestera mera, eller att vederbörande medvetet ställer kravet utifrån egenintresse. Det första svaret avfärdar Cohen som direkt falskt: det finns ingen naturlag eller en i grunden egoistisk mänsklig natur vilket tvunget kopplar samman en större del av befintliga resurser och prestation. Här bör våra svar därför vara att den talangfulla helt enkelt ska bita ihop och lägga manken till, eller möjligen hjälpa henne att odla en mer moraliskt acceptabel karaktär. I det andra fallet utnyttjar den talangfulla en position hon inte själv gjort sig förtjänt av. Hon kan, om hon vill, låta andra dra fördel av hennes talang utan att kräva extra resurser. Om hon väljer att inte göra det, framstår hennes krav närmast som analogt med en kidnappares krav på lösensumma: enda anledningen till att det ens krävs en lösensumma, är att kidnapparen själv har ställt upp villkoren för situationen. På samma sätt kan den egenintresserade talangfulla medborgaren ställa upp villkor som hon inte kan rättfärdiga annat än utifrån egenintresse. Ett sådant handlande går naturligtvis på tvären både med gemenskapsprincipen och den turegalitära princip som Cohen förfäktar. 
Nu finns det naturligtvis ett tredje scenario: att den talangfulla personen genom egen flit har kultiverat sina färdigheter på ett sådant sätt och genom sådan ansträngning att hon kan sägas vara förtjänt av en större del av samhällets resurser i den mån hon presterar bättre. Fördelar kan således ges medborgaren utan att denna uppställt ett "gisslanscenario". I sådana fall föreligger ingen orättvisa om vederbörande får en större del av kakan - åtminstone upp till en viss gräns. För även här träder gemenskapsprincipen in: då klyftorna i samhället blir för stora [...] frångås inte bara gemenskapsprincipens innehåll, utan dess själva förutsättning elimineras då medborgarna inte längre lever under samma villkor och därmed inte längre förmår relatera till andra medborgares situation och villkor: 
"Vi, du och jag, kan inte uppleva full gemenskap om du tjänar och behåller låt säga tio gånger så mycket pengar som jag, eftersom jag i mitt liv i så fall skulle ställas inför svårigheter som du aldrig behövde möta, svårigheter som du hade kunnat hjälpa mig att lösa, om du inte hade valt att behålla dina pengar."
(s. 24-27)


Cohens text är mycket sympatisk, men även om han går längre än Rawls är jag inte riktigt nöjd med hans incitaments-eftergift. Dessutom hanteras begreppet "förtjänt" ("flit", "ansträngning", "kultiverat" etc.) lite naivt och ytligt. (För att inte tala om korruptionsfällan.) Men en sak kan vi vara överens om: Titta inte på TV4!

Parentes: True Detective

Känner mig skyldig vänkretsen en spontan recension av True Detective, så här fyra, fem (tio) timmar senare.

Jag är uppvuxen i en parentes. Lever i en bubbla. Sitter i ett glashus och skriver en lapp. Fäster den runt en sten och kastar den genom väggen, i riktning mot en annan bubbla.

Vad är bra TV? True Detective är nog bland det bästa du kan se just nu - om du redan har bestämt dig för att se något. Men är den bra nog för att motivera tittandet? Nja. Nej.

En riktigt snygg produktion, alla kategorier. Och ett smörgåsbord av lockande ingredienser: ockult mystik, deckargåta, chic noir, intertextuella referenser, amerikana, samhällskritik (?) ... Något för massan; något för hipstern; något för nörden; något för tänkande August.

Jag har uppenbarligen blivit gammal nog att se förbi det mesta av grannlåten. Förutom rena lockbeten finns här exempelvis hyfsade person- och relationsteckningar. Men inte mycket nytt.

Det "nya" är Rust Cohle. Rust Cohle är jag - jag är Rust Cohle. Fast han är, det ska medges, betydligt tuffare än jag. Jag måste skärpa mig.

Rust kommenterar det amerikanska samhället: familjen, religionen. Och han säger många sanningar. Fler än vanligt, och knivskarpt artikulerade. Som kontrapunkt utgör kollegan Hart ett levande exempel på den dubbelmoral som krävs för att leva upp till arketypen.

Men Cohles kritik sätts i parentes. Dubbla parenteser. Han lever i en bubbla; kastar sten i glashus. Han är en dubbelt traumatiserad sociopat (lite Sherlock där också, ja) och tydligt socialt stigmatiserad. Dessutom uppskattar han inte ens själv sin tillvaro. Hans rationalistiska existentialism duger inte till annat än att karikera en - förvisso cool, men dock - anti-hjälte.

15 feb 2014

Herre och slav

Balansen inom självet är beroende av ömsesidigt erkännande mellan självet och den andre. Och ömsesidigt erkännande är den kanske känsligaste delen av differentieringsprocessen. Utifrån Hegels syn på syn på erkännande måste självet få möjlighet att handla och påverka den andre för att bekräfta sin existens. För att kunna existera för sig, måste man existera för någon annan. Det verkar inte finnas någon väg ur detta beroende. Om jag förgör den andre finns det ingen som erkänner mig, för om jag inte tillerkänner honom ett oberoende medvetande, blir jag insnärjd med en död, icke medveten varelse. Om den andre förvägrar mig erkännande, har mitt handlande ingen betydelse; om han befinner sig så högt över mig att jag inget kan göra för att ändra hans inställning till mig, kan jag bara ge efter. Mitt begär, och mitt aktörskap finner inget utlopp, förutom i form av lydnad. 

Vi kan kalla detta kontrollens dialektik: om jag helt och hållet kontrollerar den andre, upphör den andre att existera, och om den andre helt och hållet kontrollerar mig, upphör jag att existera. En förutsättning för vår egen oberoende existens är erkännandet av den andre. Verkligt oberoende är detsamma som att upprätthålla den grundläggande spänningen mellan dessa motstridiga impulser; alltså mellan att hävda sig själv och att erkänna den andre. Dominans är följden av att detta villkor förnekas. 

Vid ömsesidigt erkännande accepterar subjektet premissen att andra är egna personer, men att de icke desto mindre hyser liknande känslor och avsikter. Subjektet kompenseras för sin suveränitetsförlust i form av delandets glädje, gemenskapen med ett annat subjekt. Men för Hegel liksom för Freud är det oundvikligt att den grundläggande spänningen försvinner. Det hypotetiska själv som Hegel och Freud utgår från vill inte erkänna den andre och uppfattar honom inte som sin like. Först när han inte har något annat val ger han upp omnipotensen. Hans behov av den andre - som för Freud är fysiologiskt och för Hegel existentiellt - tycks försätta honom i den andres våld, som om beroende vore liktydigt med kapitulation. När subjektet ger upp sitt försök till fullständigt oberoende och kontroll, gör han det ovilligt och med en ständig om än omedveten önskan att förverkliga den gamla fantasin om omnipotens. Detta är lång ifrån att verkligen uppfatta den andre som en egen person. 

Eftersom subjektet inte kan acceptera sitt beroende av någon han inte kan kontrollera, blir lösningen att underkuva och förslava den andre - att få honom att ge detta erkännande utan att erkänna honom i gengäld. Oförmågan att förena beroende och oberoende leder alltså först och främst till att beroendet av den andre övergår i dominans.

För Freud och Hegel är detta just vad som händer i "naturtillståndet". För Freud är aggressivitet och begär efter herravälde - nödvändiga derivat av dödsdriften - en del av vår natur. Utan civilisationens inskränkningar skulle den starkaste underkuva den andre. Önskan att återupprätta den tidiga omnipotensen, eller att förverkliga fantasin om kontroll, upphör aldrig att motivera individen. Med Hegel kan vi säga att självmedvetandet vill vara absolut. Det vill bli erkänt av den andre för att skaffa sig en plats i världen och göra sig själv till hela världen. Jaget vill hävda sig på den andres bekostnad: det vill betrakta sig själv som den ende; det avskär sig beroende. Eftersom varje jag har samma anspråk, blir kampen om erkännande en kamp på liv och död. För Hegel kulminerar denna kamp inte i överlevnad för den andres skull, i ömsesidigt erkännande. Snarare gör den starkare den andre till sin slav. 

Men detta synsätt skulle innebära att underkastelse helt enkelt är de svagas grymma öde. Och frågan om varför de förtryckta underkastar sig blir faktiskt aldrig helt utredd. Ändå finns den där i bakgrunden hos både Hegel och Freud, som inser att att slaven måste ge herren erkännandets makt. ...

---

Ur: Jessica Benjamin (1988), "Master and Slave" i The Bonds of Love. Psychoanalysis, Feminism, and the Problem of Domination, s. 51-84. Återgiven som "Herre och slav" med tillstånd av författaren i Psyket (Fronesis nr. 44-45, 2014), s. 129-155. Citatet taget från s. 130-132. Översättning:  Hanna Bornäs.

22 jan 2014

Slantsingling, signifikansnivåer och hypotesprövning

Denna text baseras på Olle Häggströms artikel Statistisk signifikans och Armageddon, publicerad i tidskriften Nämnaren (nr. 1 2013).


Under momentet Logik på kursen Naturvetenskap+ tar vi bl.a. upp korrelation och kausalitet; samt implikationer och grundläggande satslogik. Innan du, som elev, läser nedanstående text bör du också ha läst min text om kombinatorik, och deltagit vid den föreläsning som här sammanfattas.


Vi ska nu ägna åt oss följande fråga:


Om vi kastar ett mynt 10 gånger, och får 2 klave och 8 krona, vad kan vi då säga om sannolikheten för att myntet är jämnt balanserat?



Sannolikheten för varje tänkbar sekvens av kast är (1/2)^10.

Detta innebär att för varje sekvens som innehåller exakt 1 klave (eller 2, eller 3, o.s.v.) är sannolikheten också (1/2)^10.

Hur många olika sekvenser med exakt 1 klave finns det? Svaret på den frågan är detsamma som på frågan: "På hur många sätt kan man välja ut ett av tio tal?" (Alltså 10.)

Hur många olika sekvenser med exakt 2 klave finns det? Svaret på denna fråga är detsamma som på frågan: "På hur många sätt kan man välja ut två tal av tio, utan hänsyn till ordning".

Svaret på denna fråga kan skrivas C(10, 2) och hur man räknar ut det kan du läsa om här. (*) (Svaret är 45.)


Alltså: Sannolikheten för att få exakt k stycken klave vid 10 kast, utan hänsyn till var i kastsekvensen de förekommer, är:

p = (1/2)^10 * C(10, k)



Om man nu räknar ut denna sannolikhet, för varje värde på k (0-10), och ritar ett stapeldiagram, så får man en illustration av binomialfördelningen med parametrarna 1/2 respektive 10.

Av detta diagram framgår att sannolikheten för de olika utfallen är ungefär:

0: 0,001
1: 0,010
2: 0,044
3: 0,117
4: 0,205
5: 0,246

...och symmetriskt för = 6, k = 7, o.s.v.



För att ta ställning till vår inledande fråga pratar vi om signifikans.

En standardnivå är p < 0,05. Vad innebär det egentligen? För att få en uppfattning om det kan du rita upp en normalfördelningskurva. Ungefär 5% av alla mätvärden kommer att ligga minst två standardavvikelser ifrån medelvärdet. (På motsvarande sätt kan man prata om sannolikheten för att ett stickprov har samma medelvärde som populationen ur vilken det är draget.)

Av tabellen ovan framgår att p = 0,044, alltså p < 0,05, för exakt 2 klave. Sannolikheten för just detta utfall är alltså mindre än den standardgräns man brukar sätta upp för att bedöma resultat som liggande inom förväntade värden.



Men vänta! Ska vi verkligen bara fokusera på utfallet exakt 2 klave? Nej, vi måste också ta hänsyn till de ännu mer extrema utfallen när = 0 eller = 1. Vilken är sannolikheten för att vi får högst 2 klave? Jo, den är 0,044 + 0,010 + 0,001 = 0,055, alltså större än vår standardgräns, p = 0,05.


Och vänta! Det räcker inte. Vi måste också räkna med de utfall då vi får minst 8 klave. De är ju lika extrema. Och eftersom fördelningen är symmetrisk får vi till slut:

p = 0,055 * 2 = 0,110 för en kastserie som är minst lika extrem som den i vilken vi fick just 2 klave. (**)

p är nu alltså större än gränsen 0,05, vilket, enligt gängse normer leder oss att dra slutsatsen att utfallet ligger inom gränserna för det som rimligen kan förväntas.


Men vänta! Betyder detta att vi kan dra slutsatsen att myntet är jämnt balanserat? Nej! Det vi har räknat ut är helt enkelt sannolikheten för att det som hände faktiskt skulle hända, givet att myntet är balanserat. Den är ganska låg, men icke desto mindre: Om myntet är balanserat kommer vi att få 2 (eller färre; eller 8 eller fler) klave i ungefär en av tio kastsekvenser. Och även om myntet är obalanserat (ja, t.o.m. om det är konstruerat för att ofta landa på just klave) kommer en sådan sekvens att inträffa då och då!


Och vänta! Om vi bara hade fått 1 (eller 0; eller 9 eller 10) klave, med en sannolikhet på 0,022, alltså mindre än 0,05, hade vi kunnat säga att myntet inte är balanserat? Nej! Vi kan bara säga att om myntet är balanserat, så har vi bevittnat  en relativt ovanlig händelse. Och ovanliga händelser inträffar  faktiskt också ibland!


Och vänta! (Och här kommer det viktigaste för fortsättningen.) Vad är det egentligen vi har räknat ut? Jo, sannolikheten för händelsen givet nollhypotesen, d.v.s. sannolikheten för att få högst 2 klave (eller något minst lika extremt), givet att myntet är balanserat. Vad kan vi säga om det omvända, sannolikheten för att myntet är balanserat, givet det utfall vi faktiskt fick? Inte så mycket! På sin höjd kan vi säga att resultatet inte ger ett särskilt starkt stöd för antagandet att myntet är balanserat.


Vi måste alltså vara noga med att skilja på p(D | H) och p(H | D).

Med andra ord, vi måste skilja på (a) sannolikheten för att erhålla den data vi faktiskt observerade, givet att hypotesen - i det här fallet att myntet är balanserat - är sann; och (b) sannolikheten för att hypotesen är sann, givet de data vi erhöll.


Traditionell (frekventistisk) statistisk behandling av forskningsresultat ger aldrig svar på hur sannolik forskningshypotesen är!

...men det är det man tror, eller hur?


För att kunna beräkna p(H | D) - som ju ofta är det vi egentligen vill - måste man i stället använda Bayesiansk sannolikhet, vilket vi kommer att titta på härnäst. (Men den har sina egna problem...)



---

(*) I stället för att skriva C(n, k) använder man ofta den här notationen, vilken uttalas "n över k":



(**) Och därmed når vi också den "snällare" signifikansnivån p = 0,1.

29 dec 2013

Tre dystopiska actionrullar

Ytterligare tre dystopiska actionrullar avklarade: Oblivion, Elysium och World War Z.

Det är lite som schlagerfestivalen, det där med att läsa recensioner (NYT, SvD, GP, UNT, HD, m.fl.). Hur luttrad man än är, så blir man likväl förvånad över hur tolkningar och tyckanden spretar - både inbördes och i jämförelse med ens egna.

Ingen av filmerna är värd att skriva en uppsats om, men mycket kort kan sägas att Oblivion kan hoppas över; Elysium är intressant men övertygar tyvärr inte. (Är det inte dags att Matt Damon gör något riktigt bra snart?)

World War Z är (vilket förvånade mig) mest sevärd, av flera skäl: Produktionen är i särklass den mest gedigna, alla kategorier. Berättandet är, om inte originellt, så åtminstone uppfriskande. Som skräck-action är den nästan onödigt bra (även om vissa typiska skräckfilmsbrister kvarstår). Men framför allt: de stråk av allvar och budskap som kan skönjas är smarta och subtila (ja, bortsett från elefanten i rummet). Ironiskt, då, att drakarna beslår Elysium med övertydlighet (för att inte tala om SvD:s bisarra läsning), men att ingen av dem ser något mer än zombies i World War Z.

14 dec 2013

Observationens teoriberoende, revisited


Consider the laudable, but now somewhat tarnished initiative to establish evidence-based policymaking. What went wrong? All too often, objective evidence was taken to be data uncontaminated by the bias of a prior theory. But without "the very soul" of a theory as guidance, what constitutes evidence? Objectivity isn't to do with with stripping out all presuppositions. Indeed, the more that's considered possible or desirable, the greater the undetected, uncriticized presuppositions and the less the objectivity. At worst, a desired but unstated goal can be smuggled in at the outset. And the upshot? This well-meant approach is often justifiably derided as "policy-based evidence-making".

Helena Cronin: In the beginning is the theory
I Brockman (red.), This explains everything, s. 157

7 dec 2013

Problemlösning med progression

Jag hittade en uppgift på Mattecentrums Facebooksida:


Kan du arrangera siffrorna 1-9 i en cirkel så att summan av alla sifferpar ej är delbara med 3, 5 och 7?


Jag gav mina pojkar, 7 och 10 år, i uppgift att lösa den. Det var mycket instruktivt att se och höra dem gripa sig an problemet. Jag tittade också på kommentarerna på Mattecentrums sida, och det visade sig även där att redan TOLKNINGEN av uppgiften ger upphov till många problem.

Min äldste grabb behövde inte mycket stöttning för att komma igång. Efter hand utvecklade han själv flera systematiska sätt att närma sig en lösning. Han kom fram till en kedja av 6 siffror som alla uppfyllde villkoret, men stötte sedan på patrull, då det finns flera sätt att ta fram en sådan, men endast en (eller ett fåtal) som kan leda hela vägen till en cirkel med nio siffror.

Lillkillen och jag använde Excel för att ta fram en tabell över alla möjliga summor, och sedan stryka de summor som inte uppfyller villkoret. Sedan hade vi en god översikt över vilken väg vi kunde ta mot målet. Under tiden gjorde tioåringen något likande med papper och penna: Han skev upp alla summor mellan 3 och 18 och strök sedan dem som var delbara med 3, 5 och 7.

När vi var klara, pratade vi om primtal, och om tal som innehåller faktorn 2 och andra faktorer skilda från 3, 5 och 7.

Så det finns utrymme för progression här.

Men det viktigaste är nog dels TOLKNINGEN, som sagt, och att förelägga sig en fungerande SYSTEMATIK i sitt sökande efter lösning.