The Smart Handicap

Från ett tänkvärt inlägg på Tom Murphys blogg, Do the Math, lånade jag ett spelteoretiskt experiment, och genomförde det i gymnasiemiljö.

Mitt i klassrummet placerades en stor godispåse.* Eleverna (n=19) ombads att skriva ner ett heltal mellan 1 och 100. Den elev vars tal låg närmast halva medelvärdet av alla tal skulle vinna godispåsen. (Eller dela den, vid oavgjort.)

Eleverna funderade enskilt en stund och snart hade alla lämnat in varsin lapp. Jag skrev upp alla tal på tavlan, i fallande ordning. Talen varierade från 100 till 5. Medelvärdet landade på 22 (ungefär), och halva medelvärdet blev alltså 11. En elev hade skrivit talet 9 på sin lapp och vann därmed godispåsen.

Efteråt diskuterade vi de tal som nu stod på tavlan. Vi konstaterade att om alla elever (i en stor grupp) skriver ner ett godtyckligt tal mellan 1 och 100 torde medelvärdet av dessa tal ligga nära 50. Hälften av 50 är 25, varför man lämpligen borde skriva ner ett tal i närheten av 25.

Men, resonerade vi vidare, om alla tänker så, kommer de inlämnade talen inte att variera godtyckligt utan i stället ligga nära just 25, vilket då också blir medelvärdet. Lämpligt vore därför att skriva ner talet 12 (eller 13), alltså hälften av det förväntade medelvärdet.

Men, vänta nu... Om alla tänker så, kommer det det förväntade medelvärdet att vara 12,5. Och därför borde man i stället skriva ner talet 6!

Och så vidare...

...tills man når insikten att man förstås borde ha skrivit ner talet 1.

Vad hade eleverna faktiskt skrivit på sina lappar då? Vi delade in talen i kategorier: Tal mellan 100 och 50 (4 st.) tydde på att man inte hade uppfattat eller förstått uppgiften. Ingen hade skrivit ner ett tal mellan 50 och 30, men om så vore fallet skulle detta kanske tyda på att man inte tänkt igenom uppgiften. Tal nära 25 (7 st.) tolkades så att man tänkt igenom uppgiften, men inte fullföljt sitt resonemang. Tal nära 12,5 (7 st.) tolkades så att man fullföljt resonemanget enligt ovan, dock ej till sin logiska slutpunkt. Ett (1 st.) tal nära 6 kunde antingen tolkas som ett längre gånget resonemang, eller möjligen som en vild chansning... Inga svar låg nära 3 eller 1.

Jag valde att likställa dessa kategorier med intentionalitetsgrader. Och jag förklarade att jag med begreppet intentionalitet avsåg dels individuell målinriktning och planering; dels uppfattandet av andra individer som likaledes målinriktade och planerande, samt hänsynstagande till detta vid individuell planering och strategisk interaktion. (Fast med fler, och andra, ord.)

Intentionalitetsgrad 0, n₀, motsvarade alltså i vårt fall en avsaknad av (funktionell) målinriktad planering (tal mellan 100 och 50).

• n₁ motsvarade bristfällig individuell målinriktad planering (tal mellan 50 och 30).
• n₂ motsvarade individuell, men ej strategisk planering (tal runt 25)
• n₃ motsvarade strategisk planering i ett steg (tal runt 12,5)
• n₄ motsvarade strategisk planering i två steg (tal runt 6)
• n₅ motsvarade strategisk planering i tre steg (tal runt 3)
• n₆ motsvarade strategisk planering i fyra, eventuellt fler, steg (talet 1)

Vi gick nu vidare till diskutera varför de som agerat på n₃ inte hade gått vidare till n₄, n₅, n₆. Det verkade osannolikt att de inte hade insett eller övervägt möjligheten. Vi kom fram till att de - mer eller mindre medvetet - hade gjort bedömningen att andra, deras strategiska motparter, troligen inte skulle agera på högre intentionalitetsgrader.

Vilka skäl kunde de ha haft för denna bedömning? Uppenbarligen räknade de med att åtminstone några motparter skulle agera på n₀ - n₃, av olika skäl, vara de flesta har behandlats ovan.

Men andra möjligheter dök också upp. Kanske var det så att man räknade med att andra skulle göra samma bedömning, d.v.s. att strategiska motparter skulle avstå från att agera på sina maximala intentionalitetsgrader, utifrån sina antaganden om vad andra skulle göra? Denna möjlighet ger upphov till ett nytt slags osäkerhet: Även om jag kan räkna med att alla motparter agerar (maximalt) strategiskt (n₃ och uppåt; potentiellt n_i) kan jag inte dra några säkra slutsatser om deras antaganden om hur andra agerar.

Den här typen av överväganden ger upphov till en ny dimension av intentionalitetsgrader (eller intentionsdjup), N₁-N_i. Och så vidare... Den strategiska spiralen kan naturligtvis alltid avbrytas i och med att alla väljer den enda möjliga vilopunkten: talet 1. Men i praktiken skulle detta säkerligen kräva många upprepade spel, med samma motparter.

Vi sammanfattade sålunda: Två motverkande krafter är i spel; en är riktad nedåt, från höga tal till låga tal; och en är riktad uppåt, från låga tal till höga tal. Den förstnämnda kallade vi den strategiska kraften. Den andra kallade vi den cyniska kraften.

Andra möjliga benämningar på den nedåtriktade kraften skulle kanske vara den rationella kraften, eller den filantropiska kraften. Den uppåtriktade kraften skulle kanske kunna kallas den irrationella kraften, den begränsade (begränsat) rationella kraften, den kontextbundna kraften, eller den misantropiska kraften. Allt beroende på sammanhang och syften.

Nå, vad kan vi då säga om resultatet? Vilka konsekvenser kan det eventuellt få inom andra områden; i verkligheten? Vi pratade om beslutsfattande i allmänhet; ledarskap; tilltro och sammanhållning; samhällsstyrning; politik; demokrati...

Mot slutet av lektionen föreslog en elev att det vore intressant att upprepa försöket. I samma grupp, inom några dagar. Det gjorde vi! (Med n=19+5=24. Tillskottet utgjordes av elever som nu var införstådda med vad som hänt tidigare...) Den här gången stod endast en liten godispåse på spel i tävlingen om att gissa rätt tal. En stor godispåse skulle den få som i förväg lämnat in den bästa förutsägelsen av resultatet och den bästa motiveringen till sin förutsägelse...

Vad hände?

Talen varierade denna gång mellan 100 och 1. Fyra eller fem tal låg mellan 100 och 90. Några tal låg runt 25. De flesta tal låg mellan 15 och 1. Endast en elev gissade på talet 1. Medelvärdet hamnade på 21 (knappt), och hälften på 10. Två elever hade skrivit talet 10 och fick därmed dela på den lilla godispåsen.

De flesta hade alltså justerat sin tidigare gissning nedåt, med en intentionalitetsgrad: Om man tidigare hade gissat på ett tal runt 25, gissade man nu på ett tal runt 12,5, o.s.v. Med några undantag. Att medelvärdet blev så högt berodde på att de högsta talen alla låg på eller nära 100.

Vi uteslöt snabbt möjligheten att någon denna gång missförstod uppgiften. De "orimligt" höga talen tillskrevs därför "troll" som medvetet ville sabotera eller införa ett oberäkneligt element.

Ett drygt halvdussin förutsägelser lämnades in på förhand. Dessa innehöll, sammantagna, följande prognoser och motiveringar:

Ingen skulle längre missförstå uppgiften.

Några "troll" förväntades. Dessa motiverades dels av (ej beräknande) skojfriskhet; dels av en önskan att göra spelet mer oförutsägbart och därmed på något sätt jämna ut de deltagandes chanser och öka sina egna (?); dels av viljan att göra det svårare för andra att vinna (!) - kanske främst för att "straffa" de som lydigt vandrade nedåt i intentionalitetsspiralen, men också för att detta bedömdes vara ett mer effektivt sätt att påverka spelets utgång än att endast satsa "rätt" för egen del...

Likaså förväntades det uppvisade steget uppåt i intentionalitetsgrad, från n₂ till n₃, från n₃ till n₄. Jag fann det anmärkningsvärt att ingen förväntade sig fler än just ett steg per individ, och därmed också för gruppen som helhet. Kanske är detta ett naturligt (intuitivt) sätt för grupper (individer) att närma sig, förhandla sig fram till, viloläget i en serie upprepade försök?

Någon passade på att anteckna resultatet från det första försöket och baserade delar av sina förutsägelser på de förmodat specifika egenskaperna i och sammansättningen av just denna grupp. I detta fall förväntade sig eleven att se en likartad fördelning av tal även vid andra försöket, justerad nedåt. Det outtalade antagandet verkade vara att de flesta individer skulle agera på samma (eller motsvarande) sätt även andra gången. Talens fördelning vid de båda försöken uppvisade vissa likheter, men troligen av delvis andra skäl än det förmodade (se ovan).

Några motiveringar hänvisade uttryckligen till nästa intentionalitetsdimension, N, och uttryckte både sin egen gissning och andras som ett resultat av denna.

The jury is still out... Avgörandet, och utdelandet av den andra stora godispåsen, får anstå till nästa lektion.

Vidare diskussion av dessa försök och deras konsekvenser kommer säkerligen att föras framöver. Vi kommer också att titta tillbaka på de här försöken när (några av) eleverna nästa år läser kursen Naturvetenskaplig specialisering. En elev har redan visat intresse för att själv genomföra liknande försök i olika grupper.


---

Uppdatering 14/3 -13: "Bättre sociala relationer i socialdemokratiska samhällen"

---

(*) Nja, godispåsen utgjordes i det första försöket endast av löftet om en stor godispåse, och symboliserades av en liten pantomim, framförd mitt i rummet, så att eleverna kunde visualisera den framtida vinsten. (Den verkliga påsen inköptes och delades ut dagen därpå.)


---

Uppdatering 9/11 -17: Sticky traditions in belief-dependent Nash equilibria without common knowledge