Implikationer

En lärare säger till sina elever:

Om du är duktig så får du ett högt betyg

Kalle litar på sin lärare, och utgår ifrån att det han säger är sant. Men så kommer han att tänka på sin klasskompis, Pelle, som verkar ha fått ett oförtjänt högt betyg. Kalle undrar därför om det också är så att:

Om du får ett högt betyg så är du duktig 

Är det också sant?

Nej, det är det inte.

Men Pelle vill förstås inte lyssna på det örat. Så för att övertyga honom, resonerar Kalle så här:

Satsen Du är duktig kallar vi för p.

Och satsen Du får ett högt betyg kallar vi q.

Då kan vi uttrycka utsagan Om du är duktig så får du ett högt betyg som:

p medför q

Eller, med en pil-symbol:

p -> q                                         (1)


Pilen står för det vi uttrycker med fraser som "om..., så...". Det här kallas för implikation. Och i det här fallet uttrycker implikationen att om det nu är så att du är duktig, så är det med säkerhet också så att du får ett högt betyg.

Kalle skriver nu upp vad han vet, och utnyttjar implikationen för att dra en slutsats:

p -> q
p
-------
q

Det här är en logisk, eller deduktiv, slutledning som ibland kallas för modus ponens. Det som står ovanför strecket kallas för premisser och det som står under strecket är slutsatsen. Slutledningen säger att om de två premisserna gäller, så följer slutsatsen, med logisk nödvändighet, av dem. Alltså, om vi vet p och om vi också vet att p medför q, så kan vi dra slutsatsen q.

Det finns många andra sorters logiska slutledningar som ser ut på andra sätt, men för dem alla gäller att om premisserna är sanna, så måste också slutsatsen vara riktig. (Det kan du själv undersöka genom att byta ut betydelsen av p eller q mot vilken annan enkel beskrivning som helst.)


Men vad betyder det egentligen att slutsatsen måste vara sann om premisserna är sanna? (*)

Det hänger på att det är så en implikation fungerar: Det är detta vi menar när vi uttrycker oss i termer av "om..., så...". Det kan man se genom att använda en s.k. sanningstabell:

p	q	p -> q
S	S	S
S	F	F
F	S	S
F	F	S

Vad den här tabellen säger är att vi definierar en implikation genom att visa vad den betyder i alla möjliga fall. I tabellen ser vi att om p är sann, så måste också q vara sann för att vi ska kunna säga att p implicerar q. (Eller uttryckt på ett annat sätt, av p följer q.) Vi ser också att om p inte är sann, så kan q vara antingen sann eller falsk. Varför? Jo, implikationen säger bara att om p så q. Den säger inget om vad som händer med q om p är falsk. Så q kan vara sann även om p är falsk, men behöver inte vara det.

Tabellen beskriver alltså vad vi intuitivt menar när vi säger att något medför något annat, och visar vad detta får för konsekvenser.



Men hur är det då med den här, alternativa, utsagan:

Om du får ett högt betyg så är du duktig

Följer den från premissen ovan? Alltså, om vi vet att (1) gäller, kan vi då också säga att (2) gäller?

q -> p                                         (2)


Trots att den verkar rimlig, och trots att den den definitivt är önskvärd (i verkligheten, utanför vår logiska modell, vill säga) så följer den inte från vår premiss; det enda som vi vet är sant, nämligen att p medför q. Det är alltså inte så att man nödvändigtvis är duktig om man har fått ett högt betyg.


Fundera på det en stund! Känns det konstigt? Lite obekvämt? Vad beror det i så fall på?


Tja, det beror nog framförallt på två saker. Den ena är att vi människor helt enkelt inte är särskilt bra på att resonera logiskt, trots att vi gärna vill tro det. (I många situationer är vi faktiskt ganska bra på att fatta "rationella" beslut, men inte med hjälp av logik.) Den andra är att utsagorna i det här exemplet ligger nära den "stökiga" verkligheten, vilket gör att vi - även när vi medvetet försöker vara "logiska" - lätt blandar in fler premisser och förväxlar saker som vi tror eller vill med det vi som vi faktiskt vet. Eller så misstar vi saker som vi vet är sanna i en viss situation med saker som alltid är sanna.


Nu vill vi ju att logiskt tänkande ska fungera som ett hjälpmedel i verkligheten. Det kan kanske verka som om det logiska resonemanget fungerar sämre än vårt vardagliga, intuitiva resonemang, enligt vilket det rimligen borde vara så att även utsagan "Om jag får ett högt betyg så är jag duktig" är sann.

Men vid närmare påseende inser vi att det ju faktiskt kan finnas andra skäl till att man får ett högt betyg. Läraren har kanske gjort ett misstag, eller så har läraren kanske helt enkelt inte skött sitt jobb. Ja, man kan tänka sig flera olika, mer eller mindre sannolika, skäl...


Även om vi alltså (av någon outgrundlig anledning) kan vara helt säkra på att en lärare aldrig begår misstaget att sätta för låga betyg - vilket ju vår premiss, p -> q, innebär - så kan vi därmed inte vara säkra på läraren inte begår andra misstag. I synnerhet kan vi inte vara säkra på att det omvända misstaget inte begås.


Misstaget att från premissen p -> q dra den felaktiga slutsatsen q -> p är mycket vanligt. Ja, tendensen är så kraftfull att inte ens människor som är tränade att vara på sin vakt mot den alltid lyckas undvika att begå denna typ av misstag. Inte ens akademiker, forskare och vetenskapare är immuna. Vilket är extra allvarligt, eftersom vi ju sällan ifrågasätter deras rapporter. Ännu värre blir det när de journalister som rapporterar forskningsresultat oftast är minst lika dåliga som "vanligt folk" på det här med logiska resonemang. Och riktigt illa blir det när man betänker att journalister väldigt ofta har ett intresse av att inte vara på sin vakt mot logiska fel: Rubrikerna blir tråkigare då!

Kan du själv komma på några exempel?


Lägg därtill att vi som läser journalisternas rubriker är ganska dåliga på att hantera logiskt korrekta resonemang och utsagor.



Hur är det med den här utsagan då?

Om du inte är duktig får du inte ett högt betyg

Eller, uttryckt i sats-logiska termer:

-p -> -q                                         (3)


Tecknet - kallas i det här sammanhanget för negation, och uttalas ofta "icke".

Efter resonemanget ovan är det kanske inte så svårt att acceptera att inte heller denna slutsats följer ur vår ursprungliga premiss, (1). Vi har ju redan kommit fram till den inte innebär att betygen nödvändigtvis är rättvisa: Man kan uppenbarligen få ett högt betyg utan att vara duktig.

Faktum är att denna utsaga säger exakt samma sak som utsaga (2): "Om jag får ett högt betyg så är jag duktig". Enligt (2) kan det inte vara så att jag får ett högt betyg utan att vara duktig. Alltså: (3) om jag inte är duktig kan jag inte få ett högt betyg. (**)



Betrakta slutligen den här varianten:

Om du inte får ett högt betyg så är du inte duktig

Eller, med sats-logik:

-q -> -p                                         (4)


Följer den här slutsatsen från vår premiss? Ja, det gör den! Varför? För att den säger exakt samma sak. Det kan inte vara så att jag är duktig utan att få ett högt betyg. Så om jag inte får ett högt betyg så kan jag inte vara duktig.

Den här varianten är alltså ekvivalent med den ursprungliga utsagan. (***)



Testa dig själv nu! Utgå från den här premissen:

Om det regnar så stannar Lisa inomhus

Hur ser de olika alternativa utsagorna ut? Är de sanna? Verkar de vara sanna?



Här nedanför ser du en sanningstabell som sammanfattar det vi har sagt.

p	q	p -> q	q -> p	-p -> -q	-q -> -p
S	S	S	S	S	S
S	F	F	S	S	F
F	S	S	F	F	S
F	F	S	S	S	S

Den tredje och sista kolumnen innehåller samma sanningsvärden och motsvarar alltså den ursprungliga utsagan (1) och dess motsvarighet (4). Den fjärde och femte kolumnen innehåller samma värden och motsvarar variant (2) och (3).

I nästa tabell ser du ett alternativt sätt att beskriva och tolka implikationer. Här används en logisk operator, ∨, som ofta utläses "eller".

Uttrycket p ∨ q utläses alltså "p eller q" och är sant om antingen p eller q är sann (eller om båda är sanna).

Med hjälp av operatorn ∨ kan vi uttrycka innebörden av en implikation, p -> q, så här:

p medför q om (och endast om) antingen q eller -p (icke p) är sann

Eller så här:

p -> q   <->   -p ∨ q

...vilket säger att de båda uttrycken innebär samma sak (tecknet <-> kallas ekvivalens)

Det låter kanske konstigt. Men det säger egentligen samma sak som det vi redan har konstaterat: Om q är sann, kan p vara antingen sann eller falsk - det spelar ingen roll. Men om q är falsk, så måste p också vara falsk - annars kan vi inte säga att p medför q, d.v.s. att om p är sann så måste också q vara det. (Och om p är falsk, så är ju icke p sann.)

p	q	-p ∨ q	-q ∨ p	p ∨ -q	q ∨ -p
S	S	S	S	S	S
S	F	F	S	S	F
F	S	S	F	F	S
F	F	S	S	S	S

Tabellen ovan innehåller alltså samma sanningsvärden som den förra, men nu har implikationerna ersatts av motsvarande uttryck med operatorn ∨.

Gå igenom tabellerna, rad för rad, och förvissa dig om att du förstår deras innehåll! Jämför också tabellerna med varandra, kolumn för kolumn, och försäkra dig om att du förstår varför uttrycken är ekvivalenta!

Visst är det kul med logik?

I kursen Naturvetenskaplig specialisering kommer vi främst att använda logik som en grund för argumentationsanalys. Men logik är också en viktig grund för matematik, vetenskapsteori, filosofi och inte minst för utvecklingen av datorer och datorprogram.

---

(*) Notera förenklingen i resonemanget! Det förutsätter t.ex. en entydig definition av egenskapen 'duktig' och att denna kan bedömas på ett (enda) pålitligt sätt. Förenklingen ger en idealiserad modell, och säger alltså nödvändigtvis inget (eller allt) om verkligheten. (Även om den, som i det här fallet, uttrycker något som verkar både självklart och önskvärt.)

När man genomför ett logiskt resonemang utgår man, i slutändan, från s.k. axiom, d.v.s. förhållanden som förutsätts vara sanna utan undantag, och utan att behöva ytterligare motivering.

Vi har här använt oss av sats-logik. Den kan utökas på olika sätt, t.ex. till predikat-logik.

Läs mer, eller titta på en film!


(**) De här två varianterna av den ursprungliga utsagan kallas omvändning eller konvers (2), respektive invers (3).


(***) Den sista varianten (4) kallas kontrapositiv.




Tack till Christian Munthe för tips och förslag.