Samma födelsedag

Sannolikheten att två personer i klassen fyller år på samma datum är........ Ja, vad tror du?

Inte så stor, va? Eller?

Tänk så här:

Ta först ut en person ur klassrummet. Ta sedan ut ytterligare en person. Sannolikheten att den andra personen INTE har samma födelsedag som den första personen är 364/365.

Ta nu ut en tredje person ur klassrummet. Sannolikheten att denna person inte har samma födelsedag som NÅGON av de båda första personerna är 363/365. (Nu är ju två olika dagar upptagna.)

Sannolikheten att VARKEN de första två personerna ELLER den tredje personen har samma födelsedag är: (364/365) * (363/365).

Så, sannolikheten att någon av de tre personerna faktiskt HAR samma födelsedag är:

1 - (364/365) * (363/365).

Det är mindre än 1 %.

Men nu var det ju hela klassen vi var intresserade av. I stället för att avbryta efter tre personer fortsätter vi alltså att plocka ut personer ur klassrummet, en efter en, tills det är tomt, och resonerar på samma sätt:

Sannolikheten att en fjärde person inte har samma födelsedag som de tre första är: 362/365.

Sannolikheten att VARKEN de första tre personerna ELLER den fjärde personen har samma födelsedag är: (364/365) * (363/365) * (362/265).

Så sannolikheten att någon av de fyra personerna HAR samma födelsedag är:

1 - (364/365) * (363/365) * (362/265).

Vi ser ett mönster!

Om vi fortsätter att plocka ut en person i taget så kommer vi till slut att få följande uttryck (ni är ju 31 elever):

1 - (364/365) * (363/365) * (362/265) * .................................. * (336/365) * (335/365).

Det är 73 % !

Sjuttiotre procents chans att åtminstone två personer i klassen har samma födelsedag, alltså. Det är kanske mer än du trodde?

I verkligheten är det ingen i klassen som har samma födelsedag som någon annan. Hur konstigt är det? Inte särskilt.

Vi kan tolka värdet 73 % så här: Om det fanns 100 klasser på skolan, som var och en innehöll 31 elever, så skulle ungefär 73 av dessa ha elever med samma födelsedag. (Och ungefär 27 klasser skulle inte ha det.)

---

Här är ett kalkylblad som visar hur sannolikheten förändras med antalet personer i klassen:

Där ser man t.ex. att om klassen innehåller 60 personer så är chansen drygt 99 % att minst två personer har samma födelsedag.

Man ser också att redan vid en klasstorlek på 23 personer är chansen större än 50 % att minst två personer har samma födelsedag.